Подскажите пожалуйста.

[Someone]

Напомню, что по условию $\alpha>1$.
Предположим, что $\sqrt[n]{\alpha}=\frac{p_1}{q_1}$ и $\sqrt[n]{\alpha_1}=\frac{p_2}{q_2}$ (не будем заморачиваться соотношениями между $q_1$ и $q_2$). Тогда $\alpha=\frac{p_1^n}{q_1^n}$ и $\alpha+1=\frac{p_2^n}{q_2^n}$. отсюда $\frac{p_1^n}{q_1^n}+1=\frac{p_2^n}{q_2^n}$, то есть, $(p_1q_2)^n+(q_1q_2)^n=(q_1p_2)^n$.