Подскажите пожалуйста.

[Pepsi]

Реально ли доказать, что из двух выражений:
$\sqrt[n]{a}}$ и $\sqrt[n]{a+1}}$
одно всегда будет иррациональным?

n > 2
а > 1

[Pepsi]

и и

[Dandan]

еще один ферматист ...

[PAV]

PAV:

Замечание за дублирование сообщений. Темы слиты в одну.

[Someone]

Pepsi писал(а):

Реально ли доказать, что из двух выражений:
$\sqrt[n]{a}}$ и $\sqrt[n]{a+1}}$
одно всегда будет иррациональным?

n > 2
а > 1

Конечно. Это следует из Большой теоремы Ферма, которую несколько лет назад наконец-то доказали.

[Pepsi]

Сорри, затупил. Извиняйте за беспокойство.

[Pepsi]

Спустя пару дней, хотелось бы вернуться к вопросу...

Хоть я и признал, что затупил, но все же сейчас меня осенило
Ведь если признать, что одно из данных выражений всегда иррационально, то получается, что теорему Ферма можно и следует привести к еще более общему случаю:


$x^n+y^n=z^n$ не имеет рациональных решений, отличных от нуля, при $n>2$

Не правда ли?

[Brukvalub]

Pepsi писал(а):

$x^n+y^n=z^n$ не имеет рациональных решений, отличных от нуля, при $n>2$

Не правда ли?

Вряд ли это посчитают открытием. Очевидно, что домножением обеих частей ур-ния Ферма на общий знаменатель дробей его положительного рац. решения, мы получим натуральное решение, которого, увы, не может быть.

[Pepsi]

$x^n+ax^n=(a+1)x^n$
где
$z^n=(a+1)x^n$ и $y^n=ax^n$
получается, что
$\frac z x=\sqrt[n]{a+1}$ , а
$\frac y x=\sqrt[n]{a}$

Очевидно (ну... вроде как, очевиднее некуда), что рациональных решений не существует. На какие знаменатели тут не домножай.

Хотя... тельняшку рвать не буду -- мож я чего и недопонимаю.

[PAV]

Где использовано условие $n>2$? При $n=2$ решения, как известно, существуют.

"Очевидно" и даже "очевиднее некуда" - это не доказательство.

[Pepsi]

PAV писал(а):

Где использовано условие $n>2$? При $n=2$ решения, как известно, существуют.

"Очевидно" и даже "очевиднее некуда" - это не доказательство.

На счет $n>2$ -- это уловие, которое оговаривалось выше, и я, каюсь, просто поленился прописывать его в очередной раз. А вот что касается "очевиднее некуда"... Ну что ж, попробую доказать.

Вернемся к тому, из-за чего, собственно весь сыр-бор. На вопрос:

Цитата:

Реально ли доказать, что из двух выражений:
$\sqrt[n]{a}$ и $\sqrt[n]{a+1}$
одно всегда будет иррациональным?

n > 2
а > 1

Someone ответил:

Цитата:

Конечно. Это следует из Большой теоремы Ферма, которую несколько лет назад наконец-то доказали.

Что ж... Если отталкиваться от того, что факт этот доказан (в данном случае я имею ввиду иррациональность одного из этих двух выражений), то можно построить следующую умозрительную пирамидку:
возьме исходное уравнение $x^n+y^n=z^n$ и выразим игрек и зет через икс
$x^n+\alpha x^n=\beta x^n$
несложно вычислить, что $\beta=\alpha+1$
следовательно начальное уравнение тождественно уравнению
$x^n+\alpha x^n=(\alpha+1) x^n$
Значит теперь мы можем смело игрек и зет выразить через икс
$y^n=\alpha x^n$ и $z^n=(\alpha+1)x^n$
далее совершаем следующее надругательство:
$\frac {y^n} {x^n}=\alpha$
$\frac {z^n} {x^n}=\alpha+1$
извлекаем корень
$\frac y x=\sqrt[n]{\alpha}$ и
$\frac z x=\sqrt[n]{\alpha+1}$
получается, что в левой части двух этих выражений находятся исключительно аргументы (самые, что ни на есть рациональные), а в правой части -- косяк. Одно из выражений иррационально. Следовательно и хотя бы один из аргументов -- тоже иррациональный. При любом раскладе.
Что и требовалось доказать.

Здесь, конечно же, сокрыто одно огромное "НО". Мы привели БТФ к более общему случаю на основе утверждения, что одно из двух исходных выражений всегда иррационально.

Но если это действительно так, то почему я не прав? Извольте обьясниться.

[Someone]

Pepsi писал(а):

Следовательно и хотя бы один из аргументов -- тоже иррациональный. При любом раскладе.
Что и требовалось доказать.

??? Мы ведь с самого начала используем то обстоятельство, что БТФ доказана, то есть, требуемых натуральных $x$, $y$, $z$ не существует. Что тогда "требовалось доказать"?
А если Вы собрались доказывать БТФ сами, то будьте любезны доказать иррациональность одного из чисел $\sqrt[n]{a}$ или $\sqrt[n]{a+1}$ самостоятельно, не используя БТФ. На самом деле это утверждение равносильно БТФ, причём, равносильность доказывается совершенно тривиальным способом.

[PAV]

Pepsi писал(а):

PAV писал(а):

Где использовано условие $n>2$? При $n=2$ решения, как известно, существуют.

На счет $n>2$ -- это уловие, которое оговаривалось выше, и я, каюсь, просто поленился прописывать его в очередной раз.

Я имел в виду не "прописывание" условия, а "использование" его при доказательстве. В нем обязательно должен быть какой-нибудь переход, который существенно использует данное условие, т.е. неверен при $n=2$. Если такого перехода нет, то доказательство неверно.

[Gordmit]

По сути, Pepsi доказал(а), что если уравнение $x^n+y^n=z^n$ имеет решения, то для некоторого $\alpha$ оба числа $\sqrt[n]{\alpha}$ и $\sqrt[n]{1+\alpha}$ рациональны.

Если $n=2$, то мы знаем, что уравнение имеет решение, значит, такое $\alpha$ существует. А если же $n>2$, то это утверждение применять уже нельзя, поскольку уравнение не имеет решений в силу Большой теоремы Ферма.

А доказывать надо следующее (обратное утверждение): если оба числа $\sqrt[n]{\alpha}$ и $\sqrt[n]{1+\alpha}$ рациональны для некоторого $\alpha$, то уравнение $x^n+y^n=z^n$ имеет решение в целых числах.

Кроме того, стоит заметить, что при $n=2$ такое $\alpha$, очевидно, существует.

[neo66]

А можно поинтересоваться, что тут так долго обсуждать. По-моему, Someone уже объяснял, что утверждения:
1)Числа $\sqrt[n]{\alpha}$ и $\sqrt[n]{1+\alpha}$ рациональны для некоторого $\alpha$.
2)Уравнение $x^n+y^n=z^n$ имеет решение в целых числах.
эквивалентны $\forall$ натурального $n$. То есть они одновременно верны для $n=1,2$ и не верны для $n>2$. Или я что-то упустил?