Какая аксиоматика исполь-ся в школьных учебниках геометрии ?

[nikvic]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #669439 писал(а):

всякая штуковина равна самой себе, и больше ничему не равна. Все остальное — эквивалентность и разбиение на факторклассы. Так что "конгруэнтность" нужна.

Ну, с эквивалентностью они знакомы - хотя бы на примере двух сотенных бумажек.
А про амбивалентность можно и не сообщать...

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Munin
Ничего плохого в обзывании конгруэнтности равенством нету. А вот осознавать то, что мы фигуры/тела на/в плоскости/пространстве таскаем/вертим как хотим, хоть они и сделаны из точек, крепко-накрепко прибитых к своему месту...

nikvic
"Они одинаковые, но разные". Сколько можно было бы философствования развести... ох, как бы не зашел тут один товарищ...

[--mS--]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #669443 писал(а):

Joker_vD в сообщении #669439 писал(а):

Так что "конгруэнтность" нужна.

Шобы школьники языки сломали? А вы знаете, как они слова переиначивают? Я боюсь представить, что они выдумают...

Да ничего, учились мы в своё время с конгруэнтностью и не ломали

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #669526 писал(а):

учились мы в своё время с конгруэнтностью и не ломали

Потому что гордо игнорировали. А вот если бы нам задвинули насчёт амбалуентности...

[mustitz]

nikvic в сообщении #669421 писал(а):

mustitz в сообщении #669386 писал(а):

Задача: Могут ли две прямые иметь одну точку пересечения?

Гм, а не две точки пересечения?

Да, поправил. Просто перенабирал текст и дофантазировал.

Munin в сообщении #669415 писал(а):

У Арнольда взгляды были местами весьма своеобразные, брать его за образец сомнительно. Но "перекос" Бурбаки заслужил критику и многих более умеренных математиков.

Я же и не выдвигал лозунг: "Бурбаки в среднюю школу!" Просто указал две крайние точки: интуитивное изложение vs формальное (Бурбаки). И между ними можно выбирать варианты.

Munin в сообщении #669415 писал(а):

Да нет. На примере геометрии как раз вводятся понятия логики, аксиом, теорем, доказательств. Неформально, но наглядно. Демонстрируют, как чертёж может обманывать, как следует избегать порочного круга рассуждений, и прочее.

Лично у меня после смежных углов все было наглядно. А до смежных углов, там где из аксиом выводятся основные факты, и наглядность хромала, и было все мутновато. Проще говоря, если после смежных углов я чувствовал, что могу доказать самостоятельно любую теорему, и нет никакой нужды в зубрежке, достаточно запомнить принцип. То до смежных углов я в этом не был уверен. Нет ли тут опасности, что учащиеся с первых занятий усвоят, что если появляется теорема, то ее доказательство надо зубрить?

Мне кажется, что эта проблема и была поднята. Несколько первых доказательств в курсе геометрии (1) достаточно очевидны; (2) доказательства выглядят переливанием из пустого в порожнее; (3) некоторые проблемы в понимании. Собственно говоря, я понял, что вопрос в том, как донести до учеников именно эти доказательства. Тут возможны пути:

• предварить математической логикой;
• вообще дать неформальное интуитивное изложение (а-ля алгебра);
• промежуточные варианты, а том числе а-ля Погорелов.

А далее везде можно дискутировать. Если предварять матлогикой, то возникает вопрос, а нужна ли она вообще? А также не нанесет ли это вред геометрической интуиции. Можно вообще забить на аксиомы, и начальные понятия геометрии просто описать человеческим языком. Ну как в алгебре, никто же не приводит аксиоматику действительных чисел по Дедикенду или еще как? А теоремы там появляются со временем в курсе, и все довольны. А если есть необходимость в иллюстрации, как из аксиом строятся математические теории, то тут хороший кандидат арифметика Пеано. Собственно говоря, только после знакомства с этой аксиоматикой я начал немного понимать, как оно все устроено. А геометрия как-то не выполнила этой функции.

Munin в сообщении #669415 писал(а):

Это параллельно дают в алгебре. Там есть переменные (буквы), которые могут иметь, в том числе, одинаковые значения (числа). А здесь пока не вводится переменных, а работа идёт только со значениями (прямыми, точками - геометрическими объектами на плоскости). Для значений, если они совпадают, говорится, что значение - одно. Например, прямая - одна. Это достаточно наглядно. Не забывайте, за партой - семиклассники, которые вчера только таблицу умножения учили. И то, для них Погорелов оказался слишком сложен.

Обозначения скоро появятся и в геометрии: точка A, точка B. Причем точки также могут и совпадать.

[Neos]

Судя по всему, проблема заключается в том, как начинать изучение
геометрии. В любом случае на аксиоматике нужно акцентировать внимание. Делать
ссылку на приложение - сводку аксиом. Хотя бы мелким шрифтом.
Для проверки предлагаю опросить своих "мелких" родственников и друзей 7-9 классов. Многие ли читали Приложение, или просматривали его. Потом "сверить" данные.
Если в ВУЗах "синхронизировано" изучение физики (мгновенная скорость),
и матанализа(производная) и других дисциплин. То в школьной программе, возможно, следует согласовать курсы алгебры и геометрии. Поскольку элементы теории множеств и какие-то начала логики даются в курсе "алгебра и основы анализа". Другой вопрос, общаются ли между собой алгебраисты и геометры.

[Munin]

mustitz в сообщении #669687 писал(а):

А далее везде можно дискутировать. Если предварять матлогикой... А также не нанесет ли это вред геометрической интуиции.

Я лично не верю в интуицию как нечто "врождённое". Имхо, и по моему опыту, интуиция - это всегда плод опыта, многократного знакомства с какой-то ситуацией, многочисленного применения каких-то знаний, рецептов, в том числе и логики. Интуиция может развиваться. Так что та "геометрическая интуиция", которой обладают семиклассники на первом уроке - это результат многочисленных упражнений с бумажными и пластмассовыми треугольниками и кружками в детском саду и в первых классах. Добавив в неё матлогику, можно помочь развить и вырастить новую, более мощную, производительную и универсальную геометрическую интуицию. А вот помешать этому... наверное, можно, если действовать неуклюже. Но это в любом случае не единственно возможный исход столкновения.

mustitz в сообщении #669687 писал(а):

А если есть необходимость в иллюстрации, как из аксиом строятся математические теории, то тут хороший кандидат арифметика Пеано. Собственно говоря, только после знакомства с этой аксиоматикой я начал немного понимать, как оно все устроено. А геометрия как-то не выполнила этой функции.

Дык. Сначала показывают один пример - вы его воспринимаете как вещь в себе. Потом показывают второй пример - и только видя их, и сравнивая, вы начинаете понимать, что между ними общего.

mustitz в сообщении #669687 писал(а):

Обозначения скоро появятся и в геометрии: точка A, точка B. Причем точки также могут и совпадать.

Такие фокусы в школьных учебниках довольно редки, и могут появляться к концу курса. Разве что Погорелов этим неосторожно развлекался.

Neos в сообщении #669787 писал(а):

Судя по всему, проблема заключается в том, как начинать изучение геометрии. В любом случае на аксиоматике нужно акцентировать внимание.

А вот сразу ли?..

Neos в сообщении #669787 писал(а):

Если в ВУЗах "синхронизировано" изучение физики (мгновенная скорость), и матанализа(производная) и других дисциплин.

Ха-ха три раза. Ни в одном вузе оно не синхронизировано. Физика постоянно требует той математики, которая будет пройдена через пол- - три года, а то и вовсе никогда не будет пройдена (например, вариационное исчисление). И приходится физикам учить студентов "своей математике" самостоятельно. Без чего курсы физики могли бы стать короче раз в 3-5, а некоторые другие - раз в 10-15...

[mustitz]

Munin в сообщении #669836 писал(а):

mustitz в сообщении #669687 писал(а):

А далее везде можно дискутировать. Если предварять матлогикой... А также не нанесет ли это вред геометрической интуиции.

Я лично не верю в интуицию как нечто "врождённое". Имхо, и по моему опыту, интуиция - это всегда плод опыта, многократного знакомства с какой-то ситуацией, многочисленного применения каких-то знаний, рецептов, в том числе и логики. Интуиция может развиваться. Так что та "геометрическая интуиция", которой обладают семиклассники на первом уроке - это результат многочисленных упражнений с бумажными и пластмассовыми треугольниками и кружками в детском саду и в первых классах. Добавив в неё матлогику, можно помочь развить и вырастить новую, более мощную, производительную и универсальную геометрическую интуицию. А вот помешать этому... наверное, можно, если действовать неуклюже. Но это в любом случае не единственно возможный исход столкновения.

Поясню свою мысль. Под геометрической интуицией я понимал опыт в работе с чертежами и рисунками. Если добавить больше матлогики, то эта интуиция больше сместится в сторону разных преобразований, более близких к алгебре. Возникает вопрос, насколько это хорошо и что более важно общей массе в повседневной жизни?

[Munin]

mustitz в сообщении #669870 писал(а):

Под геометрической интуицией я понимал опыт в работе с чертежами и рисунками.

А откуда этот опыт берётся? Он как раз на уроках геометрии и нарабатывается, в том числе с применением матлогики, позволяющей искать разные варианты расположения, обманчивые и ошибочные чертежи.

mustitz в сообщении #669870 писал(а):

Если добавить больше матлогики, то эта интуиция больше сместится в сторону разных преобразований, более близких к алгебре.

Не факт, с чего бы это вообще?

[olenellus]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #669443 писал(а):

Я боюсь представить, что они выдумают...

Кенгурентность

[mustitz]

Munin в сообщении #669886 писал(а):

mustitz в сообщении #669870 писал(а):

Если добавить больше матлогики, то эта интуиция больше сместится в сторону разных преобразований, более близких к алгебре.

Не факт, с чего бы это вообще?

Следствие из следующих предположений: (1) интуиция это монотонно возрастающая функция затраченного времени; (2) количество часов на геометрию $T$ постоянно; (3) в курсе геометрии время разбивается на работу с символами $t_1$ (интуиция матлогика) и работу с чертежами $t_2$ (геометрическая интуиция); (4) $T = t_1 + t_2$.

[Munin]

(Оффтоп)

olenellus в сообщении #669905 писал(а):

Кенгурентность

Это ещё ничего. Забавно, но не злобно и не неприлично... Я даже не против :-)

[BVR]

Munin в сообщении #669443 писал(а):

Шобы школьники языки сломали?

Это слово убрали именно поэтому. Оно ведь применялось в учебниках геометрии под редакцией Колмогорова.
А вообще, я считаю, что небольшое, разумное введение в матлогику и в теорию множеств полезно. Хотя бы по паре уроков.
В 1992 году меня зав. кафедрой взял "на слабо". И я взял 5-й класс (в универе расписание согласовали). В 6-м классе нашел время на мат. логику. Уроков 5-6. Рассказал про отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, показал запись, посоставляли таблицы истинности, попроверяли некоторые формулы, ну и порешали логические задачи. Это мне все время помогало в работе до самого их выпуска в 99 г.

[Munin]

mustitz
Нет, просто при чём там преобразования и алгебра? Это всё появляется на довольно продвинутом этапе: векторы, координатный метод, изучение движений плоскости. И сравнительно независимо от матлогики.

[nikvic]

BVR в сообщении #669919 писал(а):

В 6-м классе нашел время на мат. логику. Уроков 5-6. Рассказал про отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, показал запись, посоставляли таблицы истинности, попроверяли некоторые формулы, ну и порешали логические задачи.

Эх, это бы не ручками, а в т.н. информатике...