Какая аксиоматика исполь-ся в школьных учебниках геометрии ?

[Neos]

Всем доброго дня !
Вопрос. Какая система аксиом используется в школьных учебниках геометрии ?
Почему ни в одном учебнике нет полного списка ?

[Nemiroff]

Если я правильно помню, мы в школе учились по учебникам Атанасяна.
Там в первом учебнике точно было приложение, в котором был список аксиом.

[timots]

Евклидова наверно…

[Neos]

Nemiroff, спасибо ). Почему-то проглядел. Все нормально.
Судя по всему, в основе Гильберт. Основания геометрии.
Аксиоматика Евклида в "Началах" содержит десять постулатов. Отличается
от современной школьной. "Набор" не полный.
Ввязался в "разбор полетов" с геометрическими доказательствами и решением
задач.

[Munin]

Neos в сообщении #669212 писал(а):

Аксиоматика Евклида в "Началах" содержит десять постулатов.

А нам говорили, что пять...

Кроме Атанасяна, ещё есть у Погорелова, у Киселёва...

[Neos]

Да, у Погорелова В Приложении 5. Постулатов и 5 Аксиом.

Но Аксиома и постулат - синонимы ).

-- 09.01.2013, 14:27 --

Цитата из Атанасяна (Приложение): " Отметим, что не все аксиомы, необходимые для построения планиметрии, были приведены в нашем курсе — для упрощения изложения некоторые из них мы не формулировали, хотя ими и пользовались. " Некоторая "непоследовательность"
изложения в учебниках меня и смутила.
На самом деле "между строк" достаточно много недосказанного. Поэтому многие школьники не поняв доказательства, пытаются их "зазубрить".
Поэтому первые доказательства нужно более подробно расписывать.

[mustitz]

Neos в сообщении #669248 писал(а):

На самом деле "между строк" достаточно много недосказанного. Поэтому многие школьники не поняв доказательства, пытаются их "зазубрить".
Поэтому первые доказательства нужно более подробно расписывать.

Ну тогда надо предварить курс геометрии курсом математической логики :) Как минимум, несколько аксиом относится к самой логике и показывают нам, какие рассуждения разрешены, а какие нет.

Может просто обсудить проблемное доказательство? На самом деле я не виду ничего страшного, что несколько первых доказательств будут "мутными". Далее, после наработки достаточной базы для рассуждений, становится легче.

[nikvic]

mustitz в сообщении #669266 писал(а):

На самом деле я не виду ничего страшного, что несколько первых доказательств будут "мутными".

Факт.
При (начальном) обучении обязателен "обман".
Цель - убедить ученика, что он понимает употребляемые слова, тогда активизируются какие-то ассоциативные механизмы, позволяющие ему генерировать новые разумные тексты

[BVR]

основное отличие в аксиоматиках Атанасяна и Погорелова - это аксиомы когруэнтности.
В учебнике Александрова другая система аксиом. Скрее всего она наиболее близка к той, что была у Евклида. Система аксиом у Киселева ближе к Гильберту.

[Neos]

Конечно, никакой трагедии нет, что большая половина учеников не понимает доказательств.
Ну, если относиться "нейтрально". Современные учебники достаточно хорошие. Хорошие
в плане содержания, что не нужно переучиваться, после поступления в ВУЗ.
Обратный пример : "для простоты" объясняют что Земля плоская, а затем несколько лет "переубеждают" ученика, что она круглая :) .
Т.е. с содержанием курса все нормально. База научно обоснована.
mustitz с иронией : " надо предварить курс геометрии курсом математической логики ".
Как ни странно, но какие-то элементы логики давать нужно, хотя-бы пару страниц.
Поскольку логикой учителя и ученики пользуются все равно. Но логикой "доморощенной".
nikvic утверждает : " При (начальном) обучении обязателен "обман".
"Обман" здесь не причем. Основные "неопределяемые" понятия объясняются "контекстно",
по образцу применения, по аналогии. К ним нужно "привыкнуть". Упрощенный вариант на начальном этапе необходим, чтобы преодолеть "психологический барьер".

PAV:

Убедительная просьба освоить и использовать правильное оформление цитат участников обсуждения. Это обязательное правило форума.

[mustitz]

Neos в сообщении #669335 писал(а):

mustitz с иронией : " надо предварить курс геометрии курсом математической логики ".
Как ни странно, но какие-то элементы логики давать нужно, хотя-бы пару страниц.
Поскольку логикой учителя и ученики пользуются все равно. Но логикой "доморощенной".

Тогда уже интуитивной. Но иронии никакой нет, в принципе тоже вариант. Математическая логика не настолько уж и сложна. Но в излишней формализации (бурбукиенизации) есть и свои минусы. Арнольду данный подход не нравился.

Но изначально перед авторами учебников была поставлена задача: предоставить построение геометрии на основании аксиом, но без понятий математической логики. Понятно, что в этом случае надо тонко умолчать о некоторых моментах.

Давайте конкретно, из Погорелова:

Цитата:

I. (a) Каковы бы ни была прямая, существуют точки принадлежащие этой прямой и точки не принадлежащие этой прямой. (b) Через любые две точки можно провести прямую и только одну.

Задача: Могут ли две прямые иметь две точки пересечения?
Решение
Если бы две прямые имели две точки пересечения, то через эти точки пересечения проходили бы две прямые. А это невозможно, так как через любые две точки можно провести только одну прямую.

Крутимся, вертимся, извиваемся на сковородке. Как по мне, не хватает предиката равенства. Очень не хватает. Обычная схема то состоит в том, у нас есть прямые $a$ и $b$, точки $P$ и $Q$, то из $P\ne Q$, $P \in a$, $P \in b$, $Q \in a$, $Q \in b$ следует $a=b$. Но это и есть Ib.

Так что с одной стороны доказательство вроде бы как и логично, а с другой стороны у нас есть интуитивное понятие "одна прямая", которая вносит некоторую путаницу.

А с другой стороны так ли это важно? Просто считаем все в первом параграфе аксиомами, не вникая в доказательства. Возможно начало второго параграфа тоже (смежные углы в сумме дают 180 градусов). Но дальше уже можно двигаться спокойно, без всякой математической логики :)

По крайней мере у меня так было. Все что до смежных углов включительно представлялось эдаким словоблудием. (типа логично, но мутно). А уже после все было понятно (и я так смогу!)

[Munin]

mustitz в сообщении #669386 писал(а):

Но в излишней формализации (бурбукиенизации) есть и свои минусы. Арнольду данный подход не нравился.

У Арнольда взгляды были местами весьма своеобразные, брать его за образец сомнительно. Но "перекос" Бурбаки заслужил критику и многих более умеренных математиков.

mustitz в сообщении #669386 писал(а):

Но изначально перед авторами учебников была поставлена задача: предоставить построение геометрии на основании аксиом, но без понятий математической логики.

Да нет. На примере геометрии как раз вводятся понятия логики, аксиом, теорем, доказательств. Неформально, но наглядно. Демонстрируют, как чертёж может обманывать, как следует избегать порочного круга рассуждений, и прочее.

mustitz в сообщении #669386 писал(а):

Цитата:

Задача: Могут ли две прямые иметь одну точку пересечения?

Задача процитирована с ошибкой. Текст на самом деле гласит:

Цитата:

Задача (3). Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ.

mustitz в сообщении #669386 писал(а):

Как по мне, не хватает предиката равенства. Очень не хватает.

Это параллельно дают в алгебре. Там есть переменные (буквы), которые могут иметь, в том числе, одинаковые значения (числа). А здесь пока не вводится переменных, а работа идёт только со значениями (прямыми, точками - геометрическими объектами на плоскости). Для значений, если они совпадают, говорится, что значение - одно. Например, прямая - одна. Это достаточно наглядно. Не забывайте, за партой - семиклассники, которые вчера только таблицу умножения учили. И то, для них Погорелов оказался слишком сложен.

[nikvic]

mustitz в сообщении #669386 писал(а):

Задача: Могут ли две прямые иметь одну точку пересечения?

Гм, а не две точки пересечения?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Вообще, мне лично известно одно определение равенства: всякая штуковина равна самой себе, и больше ничему не равна. Все остальное — эквивалентность и разбиение на факторклассы. Так что "конгруэнтность" нужна.

[Munin]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #669439 писал(а):

Так что "конгруэнтность" нужна.

Шобы школьники языки сломали? А вы знаете, как они слова переиначивают? Я боюсь представить, что они выдумают...