уравнение, искомая величина- под знаком суммы

[matlabist]

Здравствуйте!

В процессе работы возникло следующее уравнение на неизвестную величину $x$:

$$ \sum_{n=1}^{N} \sqrt{a_nx^2-b_n}=1-x, $$

где $a_n$ и $b_n$ - имеют очень громоздкую зависимость от $n$, настолько громоздкую, что вычислять их можно только на компьютере. Известо лишь, что числа эти положительные и очень быстро убывают при больших $n$ (по-видимому как $1/n!^2$). Однако первые шесть величин $a_n$ и $b_n$ возрастают. $N$ - известное число.

Решение должно удовлетворять неравенству $0<x<1$.

Есть ли способы решения таких задач? Возможно, это уравнение можно свести к интегральному?

Можно ли переформулировать задачу так, что она будет пригодна для решения на ЭВМ? Особый интерес представляет случай $b_n \ll a_n$ при всех $n$. Заранее спасибо!

[Someone]

Численными методами. Полагаем $c=\max\limits_{1\leqslant n\leqslant N}\sqrt{\max\{0,\frac{b_n}{a_n}\}}$. Если $c\geqslant 1$, то корней в интервале $0<x<1$ нет. Если разность $\sum_{n=1}^{N} \sqrt{a_nx^2-b_n}-(1-x)$ при $x=c$ и при $x=1$ имеет одинаковые знаки, то корней в интервале $0<x<1$ нет. В остальных случаях ищете корень, например, методом половинного деления.