Связность, линейная связность.

[integral2009]

Хочется понять -- какие из предложенных топологических пространств являются связными, какие линейно связными? Помогите, пожалуйста, разобраться.

1) Антидискретное пространство
2) Дискретное пространство
3) Топология стрелка
4) Топология Зарисского на прямой
5) Метрическая топология на плоскости

Связное пространство — топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества.

Линейно связное пространство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

1) Антидискретное пространство
Понятно, что оно является связным, так как пересечение $X$ и пустого множество пусто. А вот с линейной связностью сложнее -- каким образом нужно "строить" непрерывную кривую?

Ну и потом можно остальные пространства можно обсудить, вот бы разобраться с первым...

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668183 писал(а):

А вот с линейной связностью сложнее -- каким образом нужно "строить" непрерывную кривую?

$X$- антидискретное. Если мы рассмотрим какое-то отображение единичного отрезка в $X$, то оно будет непрерывным?

[integral2009]

xmaister в сообщении #668186 писал(а):

integral2009 в сообщении #668183 писал(а):

А вот с линейной связностью сложнее -- каким образом нужно "строить" непрерывную кривую?

$X$- антидискретное. Если мы рассмотрим какое-то отображение единичного отрезка в $X$, то оно будет непрерывным?

Если у нас есть множество $X$, антидискретная топология на нем определяется набором подмножеств $\Delta=(X, \varnothing)$

Отображение называется непрерывным, если прообраз открытого множества открыт. А вот открыт ли он - вот этого я не знаю. А то, что $X$ и $\Delta$ -- открыты - понятно.

А как строить отображение? $f(0)=\varnothing\;\;\;\;\;f(1)=X$?

Но ведь точки $0$ u $1$ не является открытыми множествами, так как они не входят в множество $[0;1]$ со своими окрестностями...

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668187 писал(а):

$f(0)=\varnothing\;\;\;\;\;f(1)=X$?

Это что-то бессмысленное. Отображение строится не в $2^X$, а в $X$. Например отображение $f(x)=x_1,x\in [0,1),f(1)=x_2$, где $x_1,x_2\in X$- произвольные- непрерывно?

[integral2009]

xmaister в сообщении #668195 писал(а):

integral2009 в сообщении #668187 писал(а):

$f(0)=\varnothing\;\;\;\;\;f(1)=X$?

Это что-то бессмысленное. Отображение строится не в $2^X$, а в $X$. Например отображение $f(x)=x_1,x\in [0,1),f(1)=x_2$, где $x_1,x_2\in X$- произвольные- непрерывно?

Спасибо.
Думаю, что -- нет, так как отображение $f$ не является непрерывным в точке $x=1$, так как не для любой окрестности $V$ точки $f(1)=x_2$ найдется такая окрестность $U$ точки $x=1$, что $f(U) \subset V$. Верно ли это? Может я пишу бред, но хочется хотя бы прочувствать эти понятия, тогда для других топологий соображжу

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668197 писал(а):

не для любой окрестности $V$ точки $f(1)=x_2$ найдется такая окрестность $U$ точки $x=1$, что $f(U) \subset V$.

Можете предоставить пример такой окрестности $V$?

[integral2009]

xmaister в сообщении #668200 писал(а):

Можете предоставить пример такой окрестности $V$?

$f(x)=x_1$

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668201 писал(а):

$f(x)=x_1$

Нет, это не то. Вспоминаем определение окрестности. Перечислите все окрестности точки $x_2$.

[integral2009]

Пусть задано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Множество $V \subset X$ называется окрестностью точки $x\in X$, если существует открытое множество $U\in \mathcal{T}$ такое, что $x \in U \subset V$.

Ой, тогда окрестностью $x_2$ может быть только $X$

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668203 писал(а):

Ой, тогда окрестностью $x_2$ может быть только $X$

Правильно. Что теперь можно сказать о непрерывности отображения $f:X\to [0,1]$, определенное выше?

[integral2009]

xmaister в сообщении #668204 писал(а):

Правильно. Что теперь можно сказать о непрерывности отображения $f:X\to [0,1]$, определенное выше?

Я просто пока что не могу представить -- какая может быть окрестность $U$ у точки $x=1$. Если это пойму, тогда, думаю, что смогу ответить на вопрос о непрерывности.

[xmaister]

$[0,1]$ подойдет?

[integral2009]

xmaister в сообщении #668208 писал(а):

$[0,1]$ подойдет?

Ведь этот отрезок не является открытым...
Есть ли вообще окрестность у этой точки? Ведь $x\in[0;1]$, то есть мне не найти открытого множества в этом отрезке, в котором могла бы содержаться точка $x=1$

[xmaister]

$[0,1]$- топологическое пространство с индуцированной топологией. Сам отрезок является открытым.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668211 писал(а):

$[0,1]$- топологическое пространство с индуцированной топологией. Сам отрезок является открытым.

Спасибо большое, понял!

Прообраз открытого множества открыт, значит отображение непрерывно!

-- Пн янв 07, 2013 04:15:44 --

Значит антидискретное пространство линейно связно. Попробую теперь разобраться с дискретным пространством.

-- Пн янв 07, 2013 04:29:12 --

2) Мне кажется, что если выбрать в качестве множества $X$ - двухточечное множество, то оно уже не будет связным, а значит линейно связным -- тем более.

А не будет связным, так как как раз эти 2 точки со своими окрестностями могут не пересечься... Верно ли это? А вот если взять $X$ одноточечное множество, тогда тут вроде все ок, получается связным. Верно или нет?