Поскольку количество элементов

бесконечно, мы не можем выбрать конечное подпокрытие.
Вот тут поподробнее. Мы взяли какое-то

- фиксированное. Теперь рассматриваем покрытие
![$\mathcal{M}=\{(x-\varepsilon,x+\varepsilon)|x\in [0,1]\}$ $\mathcal{M}=\{(x-\varepsilon,x+\varepsilon)|x\in [0,1]\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/1/591605452b3ee1ac82ca09e38a1f138182.png)
. Рассмотрим
конечное семейство
![$\mathcal{N}=\{[a_i,a_{i+1})|a_i=\frac{i}{\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]},i\le\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]\}$ $\mathcal{N}=\{[a_i,a_{i+1})|a_i=\frac{i}{\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]},i\le\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/8/528b405afd64ef6e3cfcd211b582840882.png)
. Выбираем произвольное

и рассматриваем подпокрытие
-- 07.01.2013, 00:34 --Да и теорема Бореля справедлива, что из любого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное подпокрытие.
Так то оно так, но если мы доказываем компактность отрезщка, то лучше ИМХО сослаться на теорему Александера о предбазе (она кстати, несложны образом, следует из теоремы Хаусдорфа, которая очевидным образом вытекает из аксиомы выбора). Эквивалентна ли теорема Александера о предбазе аксиоме выбора я не знаю.