Еще раз компактное пространство

[ewert]

pohius в сообщении #668353 писал(а):

но эти несколько должны покрывать все пространство. Вот это и не понятно.

Что непонятно-то -- что отрезок можно покрыть несколькими интервальчиками фиксированной длины?...

[pohius]

Не. Непонятно то, что мы должны выбрать из уже "нарезанных" интервальчиков, такие которые покрывают весь отрезок, и чтоб их было конечное число.

-- Пн янв 07, 2013 13:14:30 --

И так же непонятно зачем это нужно, если мы можем пойти с другой стороны и взять определение через замкнутость и ограниченность.

[ewert]

pohius в сообщении #668360 писал(а):

И так же непонятно зачем это нужно, если мы можем пойти с другой стороны и взять определение через замкнутость и ограниченность.

Потому, что замкнутость плюс ограниченность -- лишь очень частный критерий компактности, годящийся только для пространств конечной размерности. Само же понятие компактности, основанное на возможности того или иного выбора, гораздо универсальнее и именно в таком виде необходимо для доказательства разных теорем существования.

[pohius]

Ну хорошо, пусть частный.
Но что все-таки делать с бесконечным количеством отрезков, из которых нужно выбрать их конечное число для покрытия всего отрезка?

[ewert]

pohius в сообщении #668379 писал(а):

Но что все-таки делать с бесконечным количеством отрезков, из которых нужно выбрать их конечное число для покрытия всего отрезка?

Берите любой интервал, накрывающий, скажем, левый конец единичного отрезка. И добавляйте к нему постепенно интервалы справа, каждый из которых перекрывает предыдущий, скажем, наполовину. Поскольку длины интервалов фиксированы -- за конечное количество таких шагов доберётесь до правого конца отрезка.