Еще раз компактное пространство

[pohius]

Возьмем $\mathbb{R}^1$ на нем подпространство $[0;1]$. Покроем его открытыми множествами $(x - \varepsilon, x + \varepsilon)$. Поскольку количество элементов $x$ бесконечно, мы не можем выбрать конечное подпокрытие. То есть $[0;1]$ не является компактом.

[SpBTimes]

Подмножество евклидова пространства компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.
Да и теорема Бореля справедлива, что из любого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное подпокрытие. (Что, собственно, и есть определение компактности в более общем случае)

[xmaister]

pohius в сообщении #668152 писал(а):

Поскольку количество элементов $x$ бесконечно, мы не можем выбрать конечное подпокрытие.

Вот тут поподробнее. Мы взяли какое-то $\varepsilon >0$- фиксированное. Теперь рассматриваем покрытие $\mathcal{M}=\{(x-\varepsilon,x+\varepsilon)|x\in [0,1]\}$. Рассмотрим конечное семейство $\mathcal{N}=\{[a_i,a_{i+1})|a_i=\frac{i}{\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]},i\le\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]\}$. Выбираем произвольное $x_i\in[a_i,a_{i+1})$ и рассматриваем подпокрытие $\mathcal{H}=\{(x_i-\varepsilon,x_i+\varepsilon)|i\lei\le\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]\}$

-- 07.01.2013, 00:34 --

SpBTimes в сообщении #668158 писал(а):

Да и теорема Бореля справедлива, что из любого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное подпокрытие.

Так то оно так, но если мы доказываем компактность отрезщка, то лучше ИМХО сослаться на теорему Александера о предбазе (она кстати, несложны образом, следует из теоремы Хаусдорфа, которая очевидным образом вытекает из аксиомы выбора). Эквивалентна ли теорема Александера о предбазе аксиоме выбора я не знаю.

[SpBTimes]

xmaister
не слишком ли, для такого-то тривиального факта?

[xmaister]

А что слишком? Берем какое-то семейство замкнутых, семейство дополнений до которых- некоторая предбаза (отрезки подойдут). Далее аксиома полноты и все.

(Оффтоп)

Быть может все действительно проще, но я не задумывался, как можно доказывать компактность по другому.

[pohius]

Блин, все равно это какой-то читинг. А можно отталкиваться от ограниченности и замкнутости? Например что-то типа:
Пространство называется компактным, если оно замкнуто и в объемлющем $\mathbb{R}^n$ можно ввести шар, такой что это пространство полностью в нем содержится.
Тогда не будет костылей с бесконечным разбиением.

[SpBTimes]

pohius
Достаточно знать, что для того, чтобы подмножество евк. пространства было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и замкнутым.

[xmaister]

SpBTimes в сообщении #668181 писал(а):

Достаточно знать, что для того, чтобы подмножество евк. пространства было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и замкнутым.

Сначала скажите, какое определение компактности Вы используете. Я полагаю, что пространство компактно по определению, если из каждого открытого покрытия выделим конечное подпокрытие. От этого и пляшу.

pohius в сообщении #668178 писал(а):

А можно отталкиваться от ограниченности и замкнутости?

Можно положить это по определению. Но эквивалентнсоть все равно желательно бужет доказать.

[ewert]

xmaister в сообщении #668159 писал(а):

следует из теоремы Хаусдорфа, которая очевидным образом вытекает из аксиомы выбора)

Я намеренно вырезал первую скобку -- для того, чтобы вторая стала смайликом. А то как-то неприлично выглядело.

[xmaister]

ewert в сообщении #668241 писал(а):

Я намеренно вырезал первую скобку -- для того, чтобы вторая стала смайликом. А то как-то неприлично выглядело.

Не понял, что в этом такого неприличного, если я буду заранее рассматривать покрытие не произвольными открытыми, а из предбазы. Это же удобнее.

[ewert]

xmaister в сообщении #668260 писал(а):

Не понял, что в этом такого неприличного

Неприлично ссылаться на аксиому выбора в вопросе, который этого совершенно не требует и вообще совершенно элементарен.

[SpBTimes]

xmaister в сообщении #668185 писал(а):

Сначала скажите, какое определение компактности Вы используете. Я полагаю, что пространство компактно по определению, если из каждого открытого покрытия выделим конечное подпокрытие. От этого и пляшу.

И я от этого, но удобный критерий компактности подмн-ва евк. пр-ва - ограниченность и замкнутость оного.

[pohius]

Хорошо что хоть для кого-то вопрос о разбиении отрезка на бесконечное число интервалов, приводящее к их конечному числу, совершенно элементарен.

[ewert]

pohius в сообщении #668320 писал(а):

Хорошо что хоть для кого-то вопрос о разбиении отрезка на бесконечное число интервалов, приводящее к их конечному числу, совершенно элементарен.

Я, например, совершенно не понял, в чём был вопрос:

pohius в сообщении #668152 писал(а):

Поскольку количество элементов $x$ бесконечно, мы не можем выбрать конечное подпокрытие.

Слова "не можем" основывались лишь на том, что количество интервалов бесконечно, и ни на чём более. Однако из того, что некое множество бесконечно, вовсе не следует, что из него нельзя взять несколько элементов.

[pohius]

ewert в сообщении #668349 писал(а):

вовсе не следует, что из него нельзя взять несколько элементов.

Взять несколько - без проблем, но эти несколько должны покрывать все пространство. Вот это и не понятно.