Разложение единицы

[profrotter]

Функция $f(t)$:
1. непрерывна;
2. $f(0)=1$;
3. $f(nT)=0, n=\pm 1,\pm 2, \pm 3, ...$;
4. убывает на бесконечности, квадратично интегрируема;
5. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=T$
6. чётно-симметрична (если поднадобится)

Верно ли, что $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=1$?

Если верно, то как это можно доказать?

Где об этом можно почитать?

[profrotter]

Мои попытки решения:
Устремим $T\to 0$, при этом

$$\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}f(t-nT)T=$$

$$=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-x)dx=1$$

Поскольку при изменении $T$ "механизм восстановления единицы" не изменяется - по сути происходит лишь масштабирование, то равенство единице должно иметь место и без предельного перехода, то есть

$$\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=1$$

Можно ли считать это доказательством?

[muzeum]

Сильно уточните условие, т.к. есть непонятки:
1.

Цитата:

4. убывает на бесконечности

и при том:

Цитата:

3. $f(nT)=0 , \pm1, \pm2, \pm3, ...$

2. У Вас Т в условии используется как константа (см. пункт 5), что означает устремление ее к нулю?

[Munin]

muzeum в сообщении #667463 писал(а):

2. У Вас Т в условии используется как константа (см. пункт 5), что означает устремление ее к нулю?

Видимо, вся функция $f$ сжимается по абсциссе пропорционально?..

[profrotter]

Скажем так:
Функция $f_0(t)$:
1. непрерывна;
2. $f_0(0)=1$;
3. $f_0(n)=0, n=\pm 1,\pm 2, \pm 3, ...$;
4. $\lim\limits_{t\to\pm\infty}f_0(t)=0$, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_0^2(t)dt<\infty$;
5. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_0(t)dt=1$
6. чётно-симметрична (если понадобится)

Введём параметр масштаба $T>0$, тогда для $f(t)=f_0\left(\frac{t}{T}\right)$ имеем:
1. непрерывна;
2. $f(0)=1$;
3. $f(nT)=0, n=\pm 1,\pm 2, \pm 3, ...$;
4. $\lim\limits_{t\to\pm\infty}f(t)=0$, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)dt<\infty$;
5. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=T$
6. чётно-симметрична (если понадобится)

Верно ли, что $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=1$?

[ewert]

profrotter в сообщении #667476 писал(а):

Верно ли, что $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=1$?

Это не только не верно -- ряд запросто может даже и расходиться.

[profrotter]

Ну пусть сходится этот ряд - сходится всюду к некоторой непрерывной периодической функции, сходится абсолютно (это доказано для функций из $L_1$). Поменяем условие квадратичной интегрируемости на абсолютную интегрируемость. Хотя, скажем, для $\sin(x)/x$ это работает, но он не абсолютно - интегрируем. Потеряли его, ладно. Его можно потом рассмотреть, как функцию с ограниченным спектром. С ним просто.

В моих рассуждениях где бред? Или какое условие необходимо добавить?

[ewert]

profrotter в сообщении #667483 писал(а):

Или какое условие необходимо добавить?

Лучше вообще всё убрать. Очевидно, что сумма этого ряда будет зависеть от $t$ (кроме разве что каких-то совсем уж исключительных случаев).

[profrotter]

ewert, контрпример есть? А то у меня тут исключительных случаев накопилось. В частности для функций с ограниченным спектром утверждение доказывается совсем легко.

[Munin]

ewert
Приведёте какой-нибудь простой наглядный пример? Чтобы очевидность была очевидна.

[ewert]

Да пусть функция попросту равна нулю везде, кроме одного единичного промежутка. Тогда этот ряд будет состоять только из одного слагаемого.

[nnosipov]

Возьмём $f(x)=g(x)/x^2$, где $g(x)$ похожа на $\sin^2(x)$, но не совпадает с этой функцией. Имеем $\sum_{n=-\infty}^\infty \sin^2(x)/(x-\pi n)^2=1 \neq \sum_{n=-\infty}^\infty g(x)/(x-\pi n)^2$.

[profrotter]

ewert, нет не будет. Единица и получится как и должна при периодизации прямоугольной функции с периодом, равным длительности.
nnosipov, это не честно, пока не приведена $g(x)$. Надо же проверить какой интергал будет у $f(x)$.

Вообще говоря, тут речь идёт о периодизации, когда мы рассматриваем $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}f(t-nT)$. Разлагая в ряд Фурье результат (в предположении, что всё что надо существует и сходится куда надо), получаем формулу суммирования Пуассона:

$$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\frac{1}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}F\left(\frac{2\pi k}{T}\right)e^{i\frac{2\pi k}{T}t},$$

где $F(\omega)$ - спектральная плотность $f(t)$. Ввиду условия (5) $F(0)=T$. Так вот, если выполняется условие, что $F\left(\frac{2\pi k}{T}\right)=0, k=\pm 1,\pm 2, \pm 3,...$, то приходим к разложению единицы и к условию (3). Но вот беда мне бы хотелось из приведённых изначально условий прийти к $F\left(\frac{2\pi k}{T}\right)=0, k=\pm 1,\pm 2, \pm 3,...$. Иначе придётся просто сделать предположение, что разложение единицы имеет место, но это будет не так красиво.

[g______d]

profrotter в сообщении #667476 писал(а):

Скажем так:
Функция $f_0(t)$:
1. непрерывна;
2. $f_0(0)=1$;
3. $f_0(n)=0, n=\pm 1,\pm 2, \pm 3, ...$;
4. $\lim\limits_{t\to\pm\infty}f_0(t)=0$, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_0^2(t)dt<\infty$;
5. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_0(t)dt=1$
6. чётно-симметрична (если понадобится)

Введём параметр масштаба $T>0$, тогда для $f(t)=f_0\left(\frac{t}{T}\right)$ имеем:
1. непрерывна;
2. $f(0)=1$;
3. $f(nT)=0, n=\pm 1,\pm 2, \pm 3, ...$;
4. $\lim\limits_{t\to\pm\infty}f(t)=0$, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)dt<\infty$;
5. $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=T$
6. чётно-симметрична (если понадобится)

Верно ли, что $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=1$?

Я ничего не понял. Очевидно, что существует гладкая функция $f_0$ с носителем на $[-1/2;1/2]$, с единичным интегралом по оси и условием $f_0(0)=1$. Пусть $T=1$. Тогда она удовлетворяет всем условиям, а при $|t|<1/2$ сумма ряда равна $f_0(t)$. Очевидно, что такую функцию можно выбрать не равной константе в окрестности нуля.

-- 05.01.2013, 19:20 --

То же самое говорил ewert, видимо.

[profrotter]

Понял. Что если запретить $f(t)$ принимать значения больше единицы?