Разложение единицы

[nnosipov]

profrotter в сообщении #667612 писал(а):

nnosipov, это не честно

Согласен. Но как-то не верится, что равенство

$$ \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{g(x)}{x^2}\,dx=\pi $$

возможно только для функции $g(x)=\sin^2(x)$.

[profrotter]

Ну в том и фокус, что нужна $g(x)$, чтобы сначала для неё проверить одно равенство, а потом другое.

[g______d]

profrotter в сообщении #667619 писал(а):

Понял. Что если запретить $f(t)$ принимать значения больше единицы?

Нужно взять несколько отрезков вида $[n-1/2;n+1/2]$ достаточно далеко друг от друга и сконцентрировать функцию около их центров. Если отрезков много, то наберется на единичный интеграл. Теперь заметим, что если мы один из кусочков (кроме центрального) сдвинем, то изменится только одно слагаемое ряда, а все остальные свойства сохранятся (у нас по-прежнему $T=1$). Если на этом отрезке функция не была константой, то получаем противоречие.

[profrotter]

Не понял последнего контрпримера. В моём положении это не удобно, но был бы рад видеть рисунок. Не может в этом ряде измениться только одно слагаемое, так как его слагаемые представляют собой результаты сдвига на $T$ одной и той же порожадающей функции.
Вот я смотрю на структуру ряда:

1. $f(t)$ - прямоугольная

2. Треугольная

3. Синки (с ними всё честно, как с функциями с ограниченным спектром)

4. Кракозябра из прямых линий с заданной площадью

5. Красным сумма кракозябр (показаны не все, но структура улавливается):

На всякий случай добавлю: может я что не так там охарактеризовал, но я имею ввиду дельта-образные функции.

-- Сб янв 05, 2013 23:57:41 --

6. Кракозябра с параболическим главным лепестком:

7. Сумма:

Вот нашёл.

[g______d]

Подумайте над примером функции, которая везде равна нулю, кроме маленькой окрестности нуля и маленькой окрестности точки 100. И пусть $t$ тоже маленькое. Что произойдет, если часть графика в окрестности точки 100 слвинуть чуть-чуть влево, а окрестность нуля не трогать?

Никакой периодичности функции не предполагалось же.

[profrotter]

Тоже не честно будет. Я в своих попытках решения считал, что функция $f(t)$ является дельта-образующей, то есть переходит в дельта-функцию при неограниченном уменьшении $T$.
Ну вот я чётно-симметричный контрпример смотрю:

Сама $f(t)$

Периодизация

Спектральная плотность $f(t)$

Вобщем думаю тут что-то с определением дельта-образующей функции. Вот в последнем примере спектральная плотность выпукла вниз в нуле, например. Чёрт его знает можно ли считать, что она стремится к постоянной при неограниченном уменьшении $T$.
Вот гауссиан честная дельта-образующая функция. Я сложил пару тысяч штучек и почти честно получил единицу:

У меня такой вопрос: А не является ли восстановление единицы при периодизации просто неотъемлимым свойством дельта-образующих функций? Может быть даже лучше сказать самоочевидным свойством, которое должно постулироваться (или может быть постулировано) при характеризации дельта-образующей функции?

[g______d]

а, да, я не учел, что $f(100) =0$, но вроде этого можно добиться, сместив второй центр.

[profrotter]

g______d, благодарю за разъяснения. Ну вот я уже снимаю все условия и просто требую, чтобы $f(t)$ была дельта-образующей, точнее хочу приписать всякой дельта-образующей функции свойство восстановления единицы вот на основе таких рассуждений, которые никто в этой теме так и не критиковал:

profrotter в сообщении #667457 писал(а):

Устремим $T\to 0$, при этом

$$\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}f(t-nT)T=$$

$$=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-x)dx=1$$

Поскольку при изменении $T$ "механизм восстановления единицы" не изменяется - по сути происходит лишь масштабирование, то равенство единице должно иметь место и без предельного перехода, то есть

$$\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=1$$

[g______d]

Что такое дельта-образующая? Это когда $T f(Tx)$ стремится к $\delta(x)$ в пространстве обобщенных функций при $T\to +\infty$?

-- 06.01.2013, 17:35 --

Рассуждения никто не критиковал, потому что никто не понял. Лично я не понял второго равенства, как там переставляются пределы и откуда $\delta$-функция.

Да и про "по сути масштабирование" не понял. Сформулируйте точное утверждение, или гипотезу.

-- 06.01.2013, 17:53 --

Если я правильно написал, что такое $\delta$-образующая, то подходит ровно тот же самый контрпример. Он является $\delta$-образующей.

Неформальный комментарий --- свойство "быть $\delta$-образующей" слишком свободное, чтобы выполнялось некоторое точное равенство при всех $t$. По сути, это свойство --- это некоторые требования к регулярности+равенство единице интеграла, т. е. некоторого одного числа. А Ваше свойство --- это равенство единице некоторой функции сразу при всех $t$. Довольно странно ожидать его ни с того ни с сего.

[nnosipov]

g______d в сообщении #667944 писал(а):

Довольно странно ожидать его ни с того ни с сего.

Вот и я о том же.

[profrotter]

g______d в сообщении #667944 писал(а):

Что такое дельта-образующая? Это когда $T f(Tx)$ стремится к $\delta(x)$ в пространстве обобщенных функций при $T\to +\infty$?

Не-не. Это когда $\frac{1}{T}f_0\left(\frac{x}{T}\right)$ стремится к $\delta(x)$ в пространстве обобщённых функций при $T\to 0$. Сохраняет единичную площадь, становится локализованной в окрестности нуля и очень-очень высокой.

g______d в сообщении #667944 писал(а):

Рассуждения никто не критиковал, потому что никто не понял. Лично я не понял второго равенства, как там переставляются пределы и откуда $\delta$-функция.

Пределы как были так и остались бесконечными. Дельта-фунция потому что $\frac{1}{T}f_0\left(\frac{x}{T}\right)$ стремится к $\delta(x)$, интеграл прямо по определению.

g______d в сообщении #667944 писал(а):

Да и про "по сути масштабирование" не понял. Сформулируйте точное утверждение, или гипотезу.

Я там рисовал картинки. Вот берём мы такую картинку с наложением функций при одном $T=T_1$ потом смотрим при меньшем $T=T_2<T_1$ и обнаруживаем, что на каждом интервале величиной $T_1$ в первом случае и величиной $T_2$ во втором случае формирование результата периодизации происходит одинаковым образом и независит от $T$.

Собственно я вижу две альтернативы: поскольку

$$\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}f(t-nT)T=$$

$$=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-x)dx=1,$$

то следует либо согласиться, что в пределе всякая функция с единичной площадью, высокая и узкая даёт при периодизации единицу (а с чего бы это?), либо постулировать вот это масштабирование и изначально требовать выполнения такого свойства.

-- Вс янв 06, 2013 18:22:30 --

nnosipov в сообщении #667970 писал(а):

Вот и я о том же.

Но концы с концами свести надо ведь.

[g______d]

profrotter в сообщении #667972 писал(а):

g______d в сообщении #667944 писал(а):

Что такое дельта-образующая? Это когда $T f(Tx)$ стремится к $\delta(x)$ в пространстве обобщенных функций при $T\to +\infty$?

Не-не. Это когда $\frac{1}{T}f_0\left(\frac{x}{T}\right)$ стремится к $\delta(x)$ в пространстве обобщённых функций при $T\to 0$.

Так это же одно и то же.

-- 06.01.2013, 18:29 --

profrotter в сообщении #667972 писал(а):

Собственно я вижу две альтернативы: поскольку

$$\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}f(t-nT)T=$$

$$=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-x)dx=1,$$

то следует либо согласиться, что в пределе всякая функция с единичной площадью, высокая и узкая даёт при периодизации единицу (а с чего бы это?), либо постулировать вот это масштабирование и изначально требовать выполнения такого свойства.

Давайте Вы докажете второе равенство. Мне оно не очевидно.

[profrotter]

А что там не так? Там интеграл по определению, преход к дельта-функции тоже по определению. Что там делаю не так?

[g______d]

Вообще не надо доказывать. Оно просто не может быть верным. Если $f$ непрерывна в нуле и $f(0)\neq 0$, то левая часть стремится к бесконечности (поскольку при $T=0$ бесконечно много раз складывается $f(0)$). Поэтому единице оно никак не может быть равно.

(это если $f$ не зависит от $T$. А если зависит, то это надо где-то отметить)

-- 06.01.2013, 18:35 --

(я здесь про равенство самой левой и самой правой части, а не про среднее равенство)

[profrotter]

g______d в сообщении #667977 писал(а):

(это если $f$ не зависит от $T$. А если зависит, то это надо где-то отметить)

Уже отмечено:

profrotter в сообщении #667476 писал(а):

Введём параметр масштаба $T>0$, тогда для $f(t)=f_0\left(\frac{t}{T}\right)$