Доопределение функций, несобственные интегралы.

[champion12]

Пусть $f(x)\in C(a;b]$

Значение $f(a)$ не определено, но $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\operatorname{const}$ ,а мы хотим вычислить несобственный интеграл: $\;\;\;\underset{a}{\overset{b}{\raisebox{-3}{\rotatebox{17}{\LARGE\ensuremath{\int}}}}}f(x)dx$

Каким образом мы можем доопределять функцию и что при этом происходит?

То есть мы доопределяем по непрерывности $f(a)=\operatorname{const}$ (та же самая константа, что и выше).

А что же при этом происходит с несобственным интегралом? Он волшебным образом превращается в собственный?

Но как? Ведь в окрестности точки $a$ не так все гладко...

[ewert]

champion12 в сообщении #667368 писал(а):

То есть мы доопределяем по непрерывности $f(a)=\operatorname{const}$ (та же самая константа, что и выше).

А что же при этом происходит с несобственным интегралом? Он волшебным образом превращается в собственный?

Не волшебным, а автоматическим образом. Если функция доопределима в особой точке по непрерывности -- формально несобственный интеграл при этом автоматически превращается в обычный интеграл от доопределённой функции.

[champion12]

ewert в сообщении #667369 писал(а):

Не волшебным, а автоматическим образом. Если функция доопределима в особой точке по непрерывности -- формально несобственный интеграл при этом автоматически превращается в обычный интеграл от доопределённой функции.

А почему так? То есть после доопределения функция становится непрерывной на отрезке $[a,b]$, а значит интеграл обычный собственный получается?

[ewert]

Формально говоря -- да, несобственный интеграл от исходной функции равен обычному интегралу от функции, доопределённой по непрерывности (коль скоро уж такое доопределение вообще возможно). И, формально говоря, это следует формально доказывать. И, не исключено, что это в каких-то учебниках даже и делается. Но это скушно за тривиальностью.

[champion12]

ewert в сообщении #667373 писал(а):

Формально говоря -- да, несобственный интеграл от исходной функции равен обычному интегралу от функции, доопределённой по непрерывности (коль скоро уж такое доопределение вообще возможно). И, формально говоря, это следует формально доказывать. И, не исключено, что это в каких-то учебниках даже и делается. Но это скушно за тривиальностью.

Спасибо. А на основе чего это доказывается (или может помните книжку, где можно найти доказательство)?

[SpBTimes]

Доказывается это уж слишком просто. Пусть, скажем, наш интеграл $\int\limits_a^b f(x) dx$, и несобственность в точке $x = a$. Пусть функция $f(x)$ допускает доопределение по непрерывности до функции $g(x)$, $g(a) = \lim\limits_{x \to a + 0} f(x)$
Рассмотрим разность:
$| \int\limits_{a}^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx | = |\int\limits_a^{a + \varepsilon} (f(x) - g(x)) dx| \leqslant \sup\limits_{x_1, x_2 \in [a; a + \varepsilon]} |f(x) - g(x)|\varepsilon \leqslant \varepsilon^2$
Последнее в силу существования предела.

А вообще проще сослаться на известный факт: интеграл не реагирует на конечные всплески функции на множестве меры ноль

[alcoholist]

SpBTimes в сообщении #667398 писал(а):

Рассмотрим разность:

все-таки там не равенство

[g______d]

SpBTimes в сообщении #667398 писал(а):

на множестве меры ноль

Я бы уточнил, что мера Жордана.

[SpBTimes]

alcoholist
а что же там?
g______d
конечно

[champion12]

Спасибо! Действительно, а что же там?

[ewert]

SpBTimes в сообщении #667398 писал(а):

Доказывается это уж слишком просто. Пусть, скажем, наш интеграл $\int\limits_a^b f(x) dx$, и несобственность в точке $x = a$. Пусть функция $f(x)$ допускает доопределение по непрерывности до функции $g(x)$, $g(a) = \lim\limits_{x \to a + 0} f(x)$
Рассмотрим разность:
$| \int\limits_{a}^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx | = $

Нет, ну не так это доказывается, конечно. Формально. Дело всего-навсего в том, что интеграл с переменным пределом непрерывно зависит от этого предела. И, в частности, для уже доопределённой по нерерывности функции $f(x)$ будет $\int\limits_a^bf(x)\,dx=\lim\limits_{\varepsilon\to+0}\int\limits_{a+\varepsilon}^bf(x)\,dx$. Однако выражение справа никак не зависит от того, доопределялась функция или нет, и в точности определяет значение этого интеграла как несобственного.

[champion12]

ewert в сообщении #668859 писал(а):

$\int\limits_a^bf(x)\,dx=\lim\limits_{\varepsilon\to+0}\int\limits_{a+\varepsilon}^bf(x)\,dx$. Однако выражение справа никак не зависит от того, доопределялась функция или нет, и в точности определяет значение этого интеграла как несобственного.

В том и дело, что это ведь и нужно доказать=) Или нет?

[ewert]

champion12 в сообщении #668874 писал(а):

В том и дело, что это ведь и нужно доказать=) Или нет?

Формально говоря, это -- следствие теоремы Барроу. Или, если рассматривать это утверждение само по себе (поскольку этот факт гораздо более грубый, чем теорема Барроу) -- следствие ограниченности непрерывной функции. В любом случае это -- общее место.

[champion12]

Спасибо, пока что не ясно - как следует.

(Теорема Барроу)

Если функция $\textstyle f $ непрерывна на $\left [ a,b \right ]$, то функция

$ F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt$

имеет производную, равную $\textstyle f(x): F'(x) = f(x) , a \leqslant x \leqslant b$. Следовательно, функция $\textstyle F(x) $ есть первообразная для $\textstyle f $ на $\left [ a,b \right ]$.

А если $f(x)$ непрерывна на $(a;b]$ и $\lim\limits_{x\to a}=\operatorname{const}$, то можно ли сказать, что $f(x)$ непрерывна на $[a;b]$?

[SpBTimes]

ewert
а чем так как я доказал - плохо?