2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доопределение функций, несобственные интегралы.
Сообщение08.01.2013, 21:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
SpBTimes в сообщении #669009 писал(а):
а чем так как я доказал - плохо?

Оккаму не понравится. Он как врежет своей бритвой по разным частям тела -- так мало не покажется.

Бессмысленно рассматривать разность двух функций, одна из которых определена всюду, другая же -- не совсем (поскольку речь пока что о вполне классических функциях и о вполне римановых интегралах). Это для начала; и этого что -- мало?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доопределение функций, несобственные интегралы.
Сообщение08.01.2013, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
ewert
Но почему бессмысленно? В пределе то они очень даже близки

 Профиль  
                  
 
 Re: Доопределение функций, несобственные интегралы.
Сообщение08.01.2013, 22:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
SpBTimes в сообщении #669026 писал(а):
В пределе то они очень даже близки

Да кто "они"-то?...

В оригинале у нас есть лишь две функции. Одна -- которая задана на всём отрезке, за исключением конца. И другая -- заданная на всём отрезке, причём однозначно. Сравнивать их друг с дружкой в классическом понимании -- бессмысленно.

Но зато вполне можно вполне классично сравнивать интегралы от этих функций чуть-чуть не до конца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доопределение функций, несобственные интегралы.
Сообщение08.01.2013, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
ewert
А, понял, и правда. Спасибо за разъяснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доопределение функций, несобственные интегралы.
Сообщение08.01.2013, 23:25 


23/09/12
180
А я вот что-то окончательно теперь запутался...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доопределение функций, несобственные интегралы.
Сообщение09.01.2013, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
champion12

Дело то вот в чем. Если $f(x) \in R[a; b]$, то при $x \in [a; b]$ функция $\Phi (x) = \int\limits_{x}^b f(t) dt$ непрерывна и непрерывно зависит от параметра. Так что $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \Phi(x + \varepsilon) = \Phi(x)$
То есть $\Phi(a) = \int\limits_{a}^b f(t) dt = \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f(t)dt$, где справа стоит с одной стороны доопределенная функция, а с другой - ни что иное, как определение несобственного интеграла для исходной разрывной $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доопределение функций, несобственные интегралы.
Сообщение09.01.2013, 01:00 


23/09/12
180
Что-то меня все равно путает одинаковое обозначение, потому не могу понять.

Может вот так сделать? Пусть $f(x)$ непрерывна на $(a;b]$

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=y_a$

Доопределенная функция:

$f^{*}(x)=\begin{cases} f(x),\;\;\;\;\;\; x\in(a;b] \\ y_a,\;\;\;\;\;\; x=a\end{cases}$

Тогда $\int\limits_{a}^b f(t) dt = \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f(t)dt=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f^{*}(t)dt$

Верно ли это? Если да, то мне не понятно вот это равенство, почему оно справедливо?

$\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f(t)dt=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f^{*}(t)dt$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group