вероятность события

[AndreyL]

Ненадолго выключился из дискуссии, и абсолютно не зря, поскольку за это время, благодаря подсказкам mad1math и Munuvonaza, за что им еще раз спасибо, дорешал задачу - действительно просто свел сумму биномиального распределения к этой самой Regularized Beta Function, и все получилось в лучшем виде.

Теперь по поводу "А вот для дискретных -- не соответствует общепринятому. ТщательнЕе надо." Читаем Корнов, пункт 18.2-9:
Распределение действительной случайной величины $x$ задается ее функцией распределения

$$\Phi _x(X) \equiv \Phi (X) \equiv P \left\{x<X \right\}$$

. Ни слова о непрерывных и дискретных, т.е. справедливо для любых. Однако были сомнения по поводу применимости этого определения для функций дискретных распределений. Тогда смотрим пункт 18.3-1 - не буду цитировать, там много. Так что же "соответствует общепринятому"?

-- Пт янв 04, 2013 9:14 pm --

--mS-- в сообщении #667282 писал(а):

он хочет видеть, какое стандартное "распределение" задаёт набор $\left\{\sum_{i=m}^n C_n^i p^i (1-p)^{n-i}, \, m =0,\ldots, n\right\}$. Ответ: никакого, это не распределение.

Да, признаю, это абсолютно точный и абсолютно бесполезный ответ. Правда я не требовал именно распределения, просто высказал свое подозрение о его возможном существовании. Каюсь, ошибся. А вот идею с биномиальным распределением хорошо подсказали, и то, что функция биномиального распределения сводится к некоторой другой функции, тоже неплохо пригодилось. А то, что эта функция вовсе не является распределением, с точки зрения решенной задачи, совершенно не важно. Всем спасибо за содержательную дискуссию и за подсказки.

[ewert]

AndreyL в сообщении #667301 писал(а):

Читаем Корнов, пункт 18.2-9:
Распределение действительной случайной величины $x$ задается ее функцией распределения

$$\Phi _x(X) \equiv \Phi (X) \equiv P \left\{x<X \right\}$$

Читаем, только внимательно -- это не вполне соответствует Вашему предыдущему

AndreyL в сообщении #667179 писал(а):

случайная величина, подчиняющаяся этому распределению, примет значение, не превышающее заданное.

(не говоря уж о том, что Вы зачем-то перепутали большие буквы с маленькими; и хотя Корнов под рукой нет, наизусть же я их не помню, -- сомневаюсь, что это была их инициатива)

[--mS--]

AndreyL в сообщении #667301 писал(а):

Да, признаю, это абсолютно точный и абсолютно бесполезный ответ.

Абсолютно в точку. Я знаю

Но спор о том, с какого конца разбивать яйцо как правильно определить ф.р. - как непрерывную слева или справа - сто очков даст по бесполезности спору о термине "распределение"

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #667319 писал(а):

Но спор о том, с какого конца разбивать яйцо как правильно определить ф.р. - как непрерывную слева или справа - сто очков даст по бесполезности

Но только если не читать литературу, а писать исключительно свою. "Чукча -- не читатель, чукча -- писатель." В общеупотребительной же литературе практически повсеместно принято строгое неравенство, и если эту традицию игнорировать -- недоразумения неизбежны. Тем более в столь легкомысленной ветке.

[AndreyL]

ewert в сообщении #667307 писал(а):

AndreyL в сообщении #667301 писал(а):

Читаем Корнов, пункт 18.2-9:
Распределение действительной случайной величины $x$ задается ее функцией распределения

$$\Phi _x(X) \equiv \Phi (X) \equiv P \left\{x<X \right\}$$

Читаем, только внимательно -- это не вполне соответствует Вашему предыдущему

AndreyL в сообщении #667179 писал(а):

случайная величина, подчиняющаяся этому распределению, примет значение, не превышающее заданное.

(не говоря уж о том, что Вы зачем-то перепутали большие буквы с маленькими; и хотя Корнов под рукой нет, наизусть же я их не помню, -- сомневаюсь, что это была их инициатива)

Все правильно. Там к формуле 18.2-8 есть сноска:
В некоторых руководствах функция распределения определяется несколько иначе: $\Phi (X) \equiv P \left\{x \leqslant X \right\}$
Во многих математических пакетах (Excel, Mathematica, MatLab и др.) применяется именно такое определение, посему именно его и использовал, т.е. именно "не превышает". По поводу больших и малых букв добавлю от себя - действительно, "в некоторых руководствах" случайная величина записывается большими буквами, еще чаще греческими, но у Корнов именно так, посему сохранил нотацию цитируемых авторов.

[--mS--]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #667324 писал(а):

Но только если не читать литературу, а писать исключительно свою. "Чукча -- не читатель, чукча -- писатель."

Всё понять не могу - завидуете что ли?
Да уж, такой зашоренности не ожидала. Я не только читаю и только русскую и не только учебную литературу. И пишу, ага. Самый последний мой студент знает, что если его сегодня учат, что ф.р. есть $\mathsf P(\xi < x)$, то это лишь дань традиции, всё ещё сохраняющейся в русскоязычной учебной литературе по ТВ. И что уже через год ему экономисты, ориентирующиеся на нормальные западные экономические источники, будут давать ф.р. как $\mathsf P(\xi \leqslant x)$. И он от этого в обморок не упадёт. В отличие от. Потому что знает, что и сколь мало от этого изменится. Да и любой вероятностник, который статьи пишет не для "вестника тьмутараканского университета", без судорог использует где надо - непрерывную слева ф.р., а где надо - справа. И я использую - дома одну, в журнале - другую. Потому как иначе западные коллеги не поймут такой местечковости. Поэтому сколько угодно можете отстаивать знак, который, с Вашей точки зрения, там будет единственно правильным. Мне безразлично, какой, я и гладью, и крестиком могу.

Уж не говоря о том, что у А.Н.Ширяева ф.р. определяется именно как непрерывная справа. Или Ваша "общеупотребительная литература" таких источников не включает?

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #667333 писал(а):

Уж не говоря о том, что у А.Н.Ширяева ф.р. определяется именно как непрерывная справа. Или Ваша "общеупотребительная литература" таких источников не включает?

Нет, не включает. Если он отказывается следовать традиции.

--mS-- в сообщении #667333 писал(а):

Потому как иначе западные коллеги не поймут такой местечковости.

Тогда пусть идут лесом. Если не способны даже осознать,

--mS-- в сообщении #667333 писал(а):

сколь мало от этого изменится.

[AndreyL]

Действительно, лет эдак 15 тому назад пытался понять, как же все-таки правильно. Исключительно из спортивного интереса, поскольку все мои (т.е. мною активно используемые) распределения непрерывные. Пересмотрел кучу учебников, результат 50/50. Но современные матпакеты используют именно нестрогое неравенство. Спасибо --mS--, что прояснили тему.

[ewert]

AndreyL в сообщении #667325 писал(а):

посему сохранил нотацию цитируемых авторов.

Вы можете сохранять какую угодно нотацию. Но Вы обязаны точно формулировать свои вопросы, независимо от нотации. Вы же проявили прямо противоположные способности -- изначально:

AndreyL в сообщении #666773 писал(а):

В идеале хотелось бы получить функцию вероятности с параметрами $n$ и $m$, зависящую от $p$.

Вам чётко с самого начала и ответили: таковой функцией является функция биномиального распределения, и в замкнутой форме она не выражается, её можно разве что затабулировать или запрограммировать. Потом Вы нашли какой-то набор слов и обрадовались, что хоть какой-то набор существует. Однако о том, что Вам нужен был именно набор, так и не сообщили. Ну и как Вы рассчитываете получать конкретные ответы, не умея задавать конкретных вопросов?...

[AndreyL]

Так а я эту функцию и получил, именно ту, которую хотел получить "в идеале". Вот она $RegularizedBetaFunction(p, n-m+1, m)$. Причем заметьте, эта функция действительно является функцией вероятности (монотонно возрастает от 0 до 1 на промежутке от 0 до 1), зависит от $p$, а $n$ и $m$ ее параметры. Вопрос был задан для того, чтобы получить результат, результат достигнут.

[ewert]

AndreyL в сообщении #667347 писал(а):

Так а я эту функцию и получил, именно ту, которую хотел получить "в идеале". Вот она $RegularizedBetaFunction(p, n-m+1, m)$.

Где, где Вы её хотели получить?... Ни в одной книжке Вы её буквально не получите. Можете лишь получить в конкретном матпакете, если конкретно эту. Но Вы же так вопрос не ставили: есть ли, мол, в данном конкретно пакете функция, реализующая конкретно то-то и то-то.

Если не умеете ставить вопрос -- наивно и на ответ рассчитывать. А Вы точно не умеете. Ну так учитесь.

[AndreyL]

Извините ради бога! Тогда я действительно неправильно задал вопрос. Надо было отдельно отметить, что ответ не обязательно должен быть описан в какой нибудь книжке, хотя описание в книжке желательно. Результатом должен получиться работоспособный алгоритм, текст на бумаге желателен, но не принципиален. Другими словами эту функцию надо считать, а не читать, хотя ссылка на первоисточник очень бы даже не помешала.

-- Сб янв 05, 2013 6:51 am --

Кстати, если зашел вопрос о книжках. Не подскажете ли, в какой книжке описан закон распределения выборочной оценки квантиля распределения? В идеале оценки любого квантиля любого распределения, но для начала хотя бы нормального.

[--mS--]

AndreyL в сообщении #667393 писал(а):

Кстати, если зашел вопрос о книжках. Не подскажете ли, в какой книжке описан закон распределения выборочной оценки квантиля распределения? В идеале оценки любого квантиля любого распределения, но для начала хотя бы нормального.

А зачем тут нужны какие-то книжки? Функция распределения (и плотность, если распределение абсолютно непрерывно) любой порядковой статистики выписывается элементарно (ну и разумеется, она есть в любой книжке по порядковым статистикам - хоть у Дэйвида, хоть у Ефимова, у Тарасенко, да и просто по оценкам - хоть у Лемана в "Теории точечного оценивания", хоть у ван дер Вардена). Вы её, собственно, и выписывали в начале ветки:

$$F_{X_{(k)}}(x) = \mathsf P\left(X_{(k)}<x\right)=\mathsf P\left(\sum\limits_{i=1}^n I(X_i < x)\geqslant k\right) = \sum\limits_{i=k}^n C_n^i \bigl(F(x)\bigr)^i \bigl(1-F(x)\bigr)^{n-i}.$$

Для нормального никакого разницы

$$F_{X_{(k)}}(x) = \sum\limits_{i=k}^n C_n^i \left(\Phi_{0,1}\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)\right)^i\left(1-\Phi_{0,1}\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)\right)^{n-i}.$$

Плотность тоже выписывается легко, если она есть:

$$f_{X_{(k)}}(x) = n C_{n-1}^{k-1} \bigl(F(x)\bigr)^{k-1} \bigl(1-F(x)\bigr)^{n-k} f(x).$$

Или Вам нужны какие-то другие оценки квантилей, отличные от порядковых статистик?

[AndreyL]

Дело в том, что оценки квантилей не всегда в точности совпадают с каким то элементом выборки. Например, медиана при выборке объемом 10 есть среднее между 5-м и 6-м элементом выборки. Формально это можно записать как $5 \frac{1}{2}$-й элемент выборки, но тогда как посчитать $\sum\limits_{i=5.5}^{10} C_n^i $?

[--mS--]

Ну, совместная плотность двух соседних порядковых статистик вычисляется тоже легко и просто

$$f_{X_{(k)}, X_{(k+1)}}(u,\,v) =n(n-1)C_{n-2}^{k-1} f(u)f(v) F^{k-1}(u) (1-F(v))^{n-k-1}, \, u<v,$$

поэтому для нахождения функции распределения достаточно проинтегрировать эту функцию по области $u < v$, $\frac{u+v}{2}<x$.

Получится интеграл

$$F_{\frac{X_{(k)}+X_{(k+1)}}{2}} (x) = kC_{n}^{k}\int\limits_{-\infty}^x F^{k-1}(u) \left((1-F(u))^{n-k} - (1-F(2x-u))^{n-k}\right)\,dF(u).$$

Его можно увидеть у Большева - Смирнова в "Таблицы МС", формула (51) стр. 36.

Вот только зачем нужна функция распределения именно этой штуки?