fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 22:06 


27/10/09
606
Ненадолго выключился из дискуссии, и абсолютно не зря, поскольку за это время, благодаря подсказкам mad1math и Munuvonaza, за что им еще раз спасибо, дорешал задачу - действительно просто свел сумму биномиального распределения к этой самой Regularized Beta Function, и все получилось в лучшем виде.

Теперь по поводу "А вот для дискретных -- не соответствует общепринятому. ТщательнЕе надо." Читаем Корнов, пункт 18.2-9:
Распределение действительной случайной величины $x$ задается ее функцией распределения$$\Phi _x(X) \equiv \Phi (X) \equiv P \left\{x<X \right\}$$. Ни слова о непрерывных и дискретных, т.е. справедливо для любых. Однако были сомнения по поводу применимости этого определения для функций дискретных распределений. Тогда смотрим пункт 18.3-1 - не буду цитировать, там много. Так что же "соответствует общепринятому"?

-- Пт янв 04, 2013 9:14 pm --

--mS-- в сообщении #667282 писал(а):
он хочет видеть, какое стандартное "распределение" задаёт набор $\left\{\sum_{i=m}^n C_n^i p^i (1-p)^{n-i}, \, m =0,\ldots, n\right\}$. Ответ: никакого, это не распределение.

Да, признаю, это абсолютно точный и абсолютно бесполезный ответ. Правда я не требовал именно распределения, просто высказал свое подозрение о его возможном существовании. Каюсь, ошибся. А вот идею с биномиальным распределением хорошо подсказали, и то, что функция биномиального распределения сводится к некоторой другой функции, тоже неплохо пригодилось. А то, что эта функция вовсе не является распределением, с точки зрения решенной задачи, совершенно не важно. Всем спасибо за содержательную дискуссию и за подсказки.

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 22:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
AndreyL в сообщении #667301 писал(а):
Читаем Корнов, пункт 18.2-9:
Распределение действительной случайной величины $x$ задается ее функцией распределения$$\Phi _x(X) \equiv \Phi (X) \equiv P \left\{x<X \right\}$$

Читаем, только внимательно -- это не вполне соответствует Вашему предыдущему

AndreyL в сообщении #667179 писал(а):
случайная величина, подчиняющаяся этому распределению, примет значение, не превышающее заданное.

(не говоря уж о том, что Вы зачем-то перепутали большие буквы с маленькими; и хотя Корнов под рукой нет, наизусть же я их не помню, -- сомневаюсь, что это была их инициатива)

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
AndreyL в сообщении #667301 писал(а):
Да, признаю, это абсолютно точный и абсолютно бесполезный ответ.

Абсолютно в точку. Я знаю :mrgreen:

Но спор о том, с какого конца разбивать яйцо как правильно определить ф.р. - как непрерывную слева или справа - сто очков даст по бесполезности спору о термине "распределение" :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 22:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 22:47 


27/10/09
606
ewert в сообщении #667307 писал(а):
AndreyL в сообщении #667301 писал(а):
Читаем Корнов, пункт 18.2-9:
Распределение действительной случайной величины $x$ задается ее функцией распределения$$\Phi _x(X) \equiv \Phi (X) \equiv P \left\{x<X \right\}$$

Читаем, только внимательно -- это не вполне соответствует Вашему предыдущему

AndreyL в сообщении #667179 писал(а):
случайная величина, подчиняющаяся этому распределению, примет значение, не превышающее заданное.

(не говоря уж о том, что Вы зачем-то перепутали большие буквы с маленькими; и хотя Корнов под рукой нет, наизусть же я их не помню, -- сомневаюсь, что это была их инициатива)
Все правильно. Там к формуле 18.2-8 есть сноска:
В некоторых руководствах функция распределения определяется несколько иначе: $\Phi (X) \equiv P \left\{x \leqslant X \right\}$
Во многих математических пакетах (Excel, Mathematica, MatLab и др.) применяется именно такое определение, посему именно его и использовал, т.е. именно "не превышает". По поводу больших и малых букв добавлю от себя - действительно, "в некоторых руководствах" случайная величина записывается большими буквами, еще чаще греческими, но у Корнов именно так, посему сохранил нотацию цитируемых авторов.

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 23:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 23:18 


27/10/09
606
Действительно, лет эдак 15 тому назад пытался понять, как же все-таки правильно. Исключительно из спортивного интереса, поскольку все мои (т.е. мною активно используемые) распределения непрерывные. Пересмотрел кучу учебников, результат 50/50. Но современные матпакеты используют именно нестрогое неравенство. Спасибо --mS--, что прояснили тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 23:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
AndreyL в сообщении #667325 писал(а):
посему сохранил нотацию цитируемых авторов.

Вы можете сохранять какую угодно нотацию. Но Вы обязаны точно формулировать свои вопросы, независимо от нотации. Вы же проявили прямо противоположные способности -- изначально:

AndreyL в сообщении #666773 писал(а):
В идеале хотелось бы получить функцию вероятности с параметрами $n$ и $m$, зависящую от $p$.

Вам чётко с самого начала и ответили: таковой функцией является функция биномиального распределения, и в замкнутой форме она не выражается, её можно разве что затабулировать или запрограммировать. Потом Вы нашли какой-то набор слов и обрадовались, что хоть какой-то набор существует. Однако о том, что Вам нужен был именно набор, так и не сообщили. Ну и как Вы рассчитываете получать конкретные ответы, не умея задавать конкретных вопросов?...

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение04.01.2013, 23:45 


27/10/09
606
Так а я эту функцию и получил, именно ту, которую хотел получить "в идеале". Вот она $RegularizedBetaFunction(p, n-m+1, m)$. Причем заметьте, эта функция действительно является функцией вероятности (монотонно возрастает от 0 до 1 на промежутке от 0 до 1), зависит от $p$, а $n$ и $m$ ее параметры. Вопрос был задан для того, чтобы получить результат, результат достигнут.

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение05.01.2013, 00:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
AndreyL в сообщении #667347 писал(а):
Так а я эту функцию и получил, именно ту, которую хотел получить "в идеале". Вот она $RegularizedBetaFunction(p, n-m+1, m)$.

Где, где Вы её хотели получить?... Ни в одной книжке Вы её буквально не получите. Можете лишь получить в конкретном матпакете, если конкретно эту. Но Вы же так вопрос не ставили: есть ли, мол, в данном конкретно пакете функция, реализующая конкретно то-то и то-то.

Если не умеете ставить вопрос -- наивно и на ответ рассчитывать. А Вы точно не умеете. Ну так учитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение05.01.2013, 07:13 


27/10/09
606
Извините ради бога! Тогда я действительно неправильно задал вопрос. Надо было отдельно отметить, что ответ не обязательно должен быть описан в какой нибудь книжке, хотя описание в книжке желательно. Результатом должен получиться работоспособный алгоритм, текст на бумаге желателен, но не принципиален. Другими словами эту функцию надо считать, а не читать, хотя ссылка на первоисточник очень бы даже не помешала.

-- Сб янв 05, 2013 6:51 am --

Кстати, если зашел вопрос о книжках. Не подскажете ли, в какой книжке описан закон распределения выборочной оценки квантиля распределения? В идеале оценки любого квантиля любого распределения, но для начала хотя бы нормального.

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение05.01.2013, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
AndreyL в сообщении #667393 писал(а):
Кстати, если зашел вопрос о книжках. Не подскажете ли, в какой книжке описан закон распределения выборочной оценки квантиля распределения? В идеале оценки любого квантиля любого распределения, но для начала хотя бы нормального.

А зачем тут нужны какие-то книжки? Функция распределения (и плотность, если распределение абсолютно непрерывно) любой порядковой статистики выписывается элементарно (ну и разумеется, она есть в любой книжке по порядковым статистикам - хоть у Дэйвида, хоть у Ефимова, у Тарасенко, да и просто по оценкам - хоть у Лемана в "Теории точечного оценивания", хоть у ван дер Вардена). Вы её, собственно, и выписывали в начале ветки:
$$F_{X_{(k)}}(x) = \mathsf P\left(X_{(k)}<x\right)=\mathsf P\left(\sum\limits_{i=1}^n I(X_i < x)\geqslant k\right) = \sum\limits_{i=k}^n C_n^i \bigl(F(x)\bigr)^i \bigl(1-F(x)\bigr)^{n-i}.$$
Для нормального никакого разницы
$$F_{X_{(k)}}(x) =  \sum\limits_{i=k}^n C_n^i \left(\Phi_{0,1}\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)\right)^i\left(1-\Phi_{0,1}\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)\right)^{n-i}.$$
Плотность тоже выписывается легко, если она есть:
$$f_{X_{(k)}}(x) = n C_{n-1}^{k-1} \bigl(F(x)\bigr)^{k-1} \bigl(1-F(x)\bigr)^{n-k} f(x).$$

Или Вам нужны какие-то другие оценки квантилей, отличные от порядковых статистик?

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение05.01.2013, 11:06 


27/10/09
606
Дело в том, что оценки квантилей не всегда в точности совпадают с каким то элементом выборки. Например, медиана при выборке объемом 10 есть среднее между 5-м и 6-м элементом выборки. Формально это можно записать как $5 \frac{1}{2}$-й элемент выборки, но тогда как посчитать $\sum\limits_{i=5.5}^{10} C_n^i $?

 Профиль  
                  
 
 Re: векроятность события
Сообщение05.01.2013, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Ну, совместная плотность двух соседних порядковых статистик вычисляется тоже легко и просто
$$f_{X_{(k)}, X_{(k+1)}}(u,\,v) =n(n-1)C_{n-2}^{k-1} f(u)f(v) F^{k-1}(u) (1-F(v))^{n-k-1}, \, u<v,$$
поэтому для нахождения функции распределения достаточно проинтегрировать эту функцию по области $u < v$, $\frac{u+v}{2}<x$.

Получится интеграл
$$F_{\frac{X_{(k)}+X_{(k+1)}}{2}} (x) = kC_{n}^{k}\int\limits_{-\infty}^x F^{k-1}(u) \left((1-F(u))^{n-k} - (1-F(2x-u))^{n-k}\right)\,dF(u).$$
Его можно увидеть у Большева - Смирнова в "Таблицы МС", формула (51) стр. 36.

Вот только зачем нужна функция распределения именно этой штуки?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group