Физический смысл степени переменной

[Анатолий Григорьев]

Значит Ваша формула получена эмпирическим пктём, а не выведена из первых принципов или при её выводе лихо сокращали единицы измерения. В лаборатории никогда и ничего не измеряют в квадратных корнях из вольта и даже квадратные метры получают после двух измерений линейным метром. А в ряды разлагают по безразмерным переменным, например v/c.

[arseniiv]

Анатолий Григорьев в сообщении #666639 писал(а):

Вообще-то сокращать и умножать размерности в физике нельзя.

Вы так и не объяснили, почему. Будете?

zask в сообщении #666645 писал(а):

А любой физический ряд, где разложение идет по степеням физ. величины не приводится к одной размерности?

Только если его коэффициенты имеют соответствующие «дополняющие» размерности.

[Анатолий Григорьев]

arseniiv в сообщении #666716 писал(а):

Анатолий Григорьев в сообщении #666639 писал(а):
Вообще-то сокращать и умножать размерности в физике нельзя.
Вы так и не объяснили, почему. Будете?

Попробую. Основные единицы измерения имеют ясный физический смысл. При их сокращении он теряется. Сокращение вообще идёт из математики 7/7=1, ясно и понятно. Но что такое метр делённый на метр? Фмзика вообще наука экспериментальная, значит все исходные величины в ней имеют ту размерность, которая была получена в лаборатории. Их можно комбинировать как угодно, но всё равно в самых последних результатах (теоретически полученных формулах) все исходные размерности должны быть сохранены. Но для упрощения единицы измерения сокращают, при этом часто теряется физический смысл. Яркий пример: в системе CGSE электрическая ёмкость измеряется в сантиметрах. Вы можете объяснить как это, куда нужно приладывать этот сантиметр?

[arseniiv]

Анатолий Григорьев в сообщении #666729 писал(а):

Основные единицы измерения имеют ясный физический смысл.

Какой?

Анатолий Григорьев в сообщении #666729 писал(а):

Фмзика вообще наука экспериментальная, значит все исходные величины в ней имеют ту размерность, которая была получена в лаборатории.

А в лаборатории можно получить какие-то размерности? (Кстати, размерности и единицы измерения — не одно и то же.)

Анатолий Григорьев в сообщении #666729 писал(а):

Яркий пример: в системе CGSE электрическая ёмкость измеряется в сантиметрах. Вы можете объяснить как это, куда нужно приладывать этот сантиметр?

Если размерности физических величин совпадают, это не означает, что измерять эти величины можно одинаковым способом. В СИ, например, плоский угол и телесный угол оба безразмерны, но сможете ли вы измерить их одинаковым способом?

Вы так и не объяснили, почему

Анатолий Григорьев в сообщении #666639 писал(а):

сокращать и умножать размерности в физике нельзя.

[Анатолий Григорьев]

Представления об основных физических величинах идут от наших обыденных представлений - метр 1/40000000 длины парижского меридиана, килограмм масса 1 куб. дм. воды ну и т. д.
В лаборатории размерности не получают, их устанавливают в системах измерения (СИ, CGSE и т. п.). Единицы измерения, конечно, всегда имеют размерности. А для простейших измерений (длины, времени, тока, массы) единицы измерения совпадают с их размерностями.
А углы измеряют просто метром. Сначала дугу, потом радиус, делят первое на второе и получают не безразмерную величину, а радиан по определению радиана. Аналогично и со стерадианом.
По поводу ёмкости. Этот пример просто показывает, что сокращать единицы измерения нельзя. $C=q/\varphi$ единиц электрического заряда CGSE/единиц потенциала CGSE.

[zask]

arseniiv в сообщении #666716 писал(а):

zask в сообщении #666645 писал(а):
А любой физический ряд, где разложение идет по степеням физ. величины не приводится к одной размерности?
Только если его коэффициенты имеют соответствующие «дополняющие» размерности.

Это был риторический вопрос, что можно понять, если Вы вникните в контекст. Он адресовался Анатолий Григорьев как опровержение мысли

Анатолий Григорьев в сообщении #666639 писал(а):

Вообще-то сокращать и умножать размерности в физике нельзя. Это физики лихо делают под влиянием математики, где можно сокращать числа.

и уж, конечно, моя мысль (к тому же, которую Вы не поняли) не требует Вашей расшифровки для меня же.

-- 04.01.2013, 02:42 --

Анатолий Григорьев в сообщении #666713 писал(а):

Значит Ваша формула получена эмпирическим пктём, а не выведена из первых принципов или при её выводе лихо сокращали единицы измерения. В лаборатории никогда и ничего не измеряют в квадратных корнях из вольта и даже квадратные метры получают после двух измерений линейным метром. А в ряды разлагают по безразмерным переменным, например v/c.

По Вашему, все формулы кроме простейших получаются эмпирическим путем? Это, конечно, ерунда. Закон $4/3$, например - это зависимость потенциала электронного облака от расстояния до электрода.

-- 04.01.2013, 02:44 --

Что касается разложения по безразмерным переменным. Для того, чтобы их получить надо как раз сократить размерности, иногда составляемые из разных физических величин. Далеко не всегда безразмерная переменная выделяется в явном виде. (Кроме того, в сокращении одинаковых полных размерностей, которое Вы "протаскиваете" по-тихому, разрешая, например, $v/c$ заключается явное жульничество.)

Еще небольшой контрпример. Как известно, в статфизике фигурирует длина волны Де-Бройля, примерно соответствующая тепловой скорости частиц. Она имеет вид

$\Lambda = h/\sqrt[]{2 \pi mk_BT}$.

Дайте, пожалуйста, Ваше отношение к этой величине, в ч., к квадратному корню, использованному в ней и к необходимости применения нескольких сокращений размерности, чтобы в итоге получить длину.

[arseniiv]

Анатолий Григорьев в сообщении #666774 писал(а):

А для простейших измерений (длины, времени, тока, массы) единицы измерения совпадают с их размерностями.

Повторю ещё раз: $\text{м} \ne L, \text{с} \ne T, \text{кг} \ne M$.

(Получение размерности из значения физической величины обычно обозначают квадратными скобками. Вот $[\text{м}] = L, [\text{с}] = T, [\text{кг}] = M$ — это верно. К тому же, единица измерения ничем не выделяется из других значений физической величины.)

Анатолий Григорьев в сообщении #666774 писал(а):

и получают не безразмерную величину, а радиан по определению радиана

И получают безразмерный угол, а не радиан. Физическая величина не зависит от того, какие единицы измерения для неё кто-то использует.

Увы, не вижу, почему нельзя сокращать и умножать. (Уже и экран протёр.) Наверно, это даже не эстетика, а просто личные вкусы.

Анатолий Григорьев в сообщении #666729 писал(а):

Фмзика вообще наука экспериментальная, значит все исходные величины в ней имеют ту размерность, которая была получена в лаборатории.

Анатолий Григорьев в сообщении #666774 писал(а):

В лаборатории размерности не получают, их устанавливают в системах измерения (СИ, CGSE и т. п.).

То в лаборатории была получена размерность, то не получают их там — тоже странная коллизия.

[Gravist]

Анатолий Григорьев в сообщении #666729 писал(а):

Но что такое метр делённый на метр?

Если наглядно - см. проективную геометрию.

[Munin]

zask в сообщении #666782 писал(а):

Как известно, в статфизике фигурирует длина волны Де-Бройля

Вау. Произнесите это ещё раз, я хочу насладиться звучанием.

И чего-то я не понял, чего $\pi$ под корнем...

[zask]

Munin в сообщении #666957 писал(а):

Вау. Произнесите это ещё раз, я хочу насладиться звучанием.

Не уловил интонации; надеюсь, это не сарказм? Это широко известный факт (Хилл, Статистическая механика, 1960, с.450: "$\Lambda$ - средняя длина волны де-Бройля при температуре $T$").

Интересно, что статфизика так тесно завязана на квантовую механику (через объем элементарной ячейки), что постоянная Планка могла бы быть извлечена впервые из статфизики. На это указывают Румер, Рывкин (1977). При этом статфизика была завершена почти за четверть века до появления квантовой механики!

$\Lambda$ входит в статистическую сумму канонического ансамбля:

$Q_N=Z_N^V/(N! \Lambda^{3N})$,

где $Z_N^V$ - конфигурационный интеграл (там же, с. 145). Естественно, через активность $z$ она входит и в большую статсумму. Отношение этой величины к среднему расстоянию между частицами определяет необходимость учета квантовых эффектов.

(Оффтоп)

По $\pi$ под корнем - вопрос к господу богу ).

[Munin]

zask в сообщении #666979 писал(а):

Не уловил интонации; надеюсь, это не сарказм?

На грани, но ещё не :-)

zask в сообщении #666979 писал(а):

Интересно, что статфизика так тесно завязана на квантовую механику (через объем элементарной ячейки), что постоянная Планка могла бы быть извлечена впервые из статфизики. На это указывают Румер, Рывкин (1977). При этом статфизика была завершена почти за четверть века до появления квантовой механики!

Всё-тки кроме статистики фотонов, которая видна через планковский спектр, какие там ещё были наблюдаемые, не инвариантные относительно изменения $\hbar$? Румер-Рывкин - это ж учебник, да? Он большой, искать в нём без подсказок...

[zask]

Munin в сообщении #667021 писал(а):

На грани, но ещё не

Тьфу, тьфу,... прошел по краю пропасти...).

Munin в сообщении #667021 писал(а):

Всё-тки кроме статистики фотонов, которая видна через планковский спектр, какие там ещё были наблюдаемые, не инвариантные относительно изменения $\hbar$? Румер-Рывкин - это ж учебник, да? Он большой, искать в нём без подсказок...

с.152, 235. Они предлагают путь через измерение теплоемкости.

[Munin]

А! Точно! Есть же фононы, кроме фотонов! Всё, спасибо, затык в мозгах прошёл.

Ну и, наверняка, с другими квазичастицами тоже можно поразвлекаться (теплопроводность там, проводимость...).

[Анатолий Григорьев]

Я тут немного порылся в книжках, и нашёл, как мне кажется, корень всех зол с нецелочисленными показателями степеней в размерностях физических величин. Пока речь идёт о механике - всё хорошо, показатели у метра, килограмма, секунды целочисленны и в принципе их можно сокращать. Беды начинаются в электричестве. Там в разных системах измерений используют разные определения для электрического заряда. В CGSE закон Кулона, в CGSM и в СИ закон Био-Савара. В какой-то системе использовали для определения ампера, а следовательно и электрического заряда проходящего через поперечное сечение проводника за 1 секунду, закон электролиза Фарадея. Вообщем, определяют его способом удобным для метрологов. При этом, например, в CGSE смело выражают количество электричества через механическую силу (комбинацию из массы времени и длины) и длину, да ещё и извлекают квдратный корень из их произведения. А между тем, количество электричества это особая физическая величина, которую никак нельзя выразить через механические величины. С равным успехом можно попытаться выразить метр через килограмм. Единица измерения электричества установлена самой природой - это электрический заряд 1-го электрона. Если эта единица, в силу своей малости, неудобна для использования, пожайлуста, определите кулон как суммарный заряд $6,24\cdot10^{18}$ электронов. Тогда и электрический ток в 1 А будет таким при котором через поперечное сечение проводника в секунду будет проходить указанное количество электронов. Естественно, кулон должен стать одной из основных единиц измерения, наряду с метром, килограммом и секундой и ни в коем случае через них не выражаться. Тогда и исчезнут дробные степени и корни в размерностях физических величин, которые появляются при сокращении обычных метров, килограммов и секунд с метрами, килограммами и секундами входящими в размерность электрического заряда и такие нелепости как электрическая ёмкость в сантиметрах.

[Munin]

(Оффтоп)

А я вот нашёл, что искать корень всех зол - само по себе не слишком осмысленное занятие...