Hrundel,
Вы с самого начала как-то сильно мудрите с действительно простой задачей.
Во-первых, как Вам уже указали, определение прямой в первом сообщении какое-то совсем непонятное. И то, что Вы его написали "один в один как в задаче" не особо помогает. Возможно, задача ориентируется на конкретные лекции, на обозначения, не являющиеся общепринятыми.
Для нормали получаем нормированное уравнение прямой
![$$g:y = \frac{{4}}{3}x + 1$$ $$g:y = \frac{{4}}{3}x + 1$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/f/96fe73bb513a7de346533bb61ec2a44c82.png)
Это не есть "нормированное уравнение прямой". И на кой Вам эта нормаль?
Из Вашей картинки (и только из картинки, а не из странного определения прямой в условии) понятно, что искомые касательные имеют вид
![$y=-\dfrac43 x+b$ $y=-\dfrac43 x+b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/8/7e84f1e81ad6924b1bca99b9c2a1712782.png)
(где
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
пока нам не известно). Пересекаем эту прямую с окружностью, как Вы уже делали с нормалью.
Только зачем это было делать с какой-то там нормалью --- непонятно. А с касательной --- понятно. Получаем уравнение для
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
:
![$$25x^2-24(b-1)x+9b^2-18b-27=0.$$ $$25x^2-24(b-1)x+9b^2-18b-27=0.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/7/7f7fcf703a56f355e4cc1c9b3166606882.png)
Решаем его:
![$$x_{1,2}=\frac{\ldots\pm3\sqrt{-9b^2+18b+91}}{25}.$$ $$x_{1,2}=\frac{\ldots\pm3\sqrt{-9b^2+18b+91}}{25}.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/7/4a7a6ccb88770e50ecaf4ed5b81fe8c182.png)
Чуть-чуть думаем: сколько получилось точек пересечения у прямой с окружностью?
Может, ноль... Не подходит, это не будет касательная. (А при каком, кстати, условии их ноль?)
Может, две... Не подходит, это секущая. (А при каком, кстати, условии их две?)
Вот бы одна --- это же точно будет касательная! А как сделать, чтобы точка пересечения была одна? Как сделать
![$x_1=x_2$ $x_1=x_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/5/295dc38f31733a6ac08fa450a141c04282.png)
? При каком условии их будет одна?
Ну?