Пересечение прямой и окружности

[Hrundel]

Всем привет,

будьте добры, объясните в чем я ошибаюсь. Наверняка глупейшая ошибка и поэтому получаемые результаты не соответствуют ожидаемым.
Задача простая. Даны окружность и прямая:

$$K:x^2 + (y -1)^2 = 4$$

$$G:\left( {\begin{array}{*{20}c} { - 3} \\ 4 \\ \end{array} } \right);\lambda \in \mathbb{R} $$

нужно:
провести параллельно прямой две касательные к кругу (с противоположных сторон) и найти координаты точек касания.
Я рассуждал так, что для начала необходимо найти пересечение нормали прямой с окружностью.
Для нормали получаем нормированное уравнение прямой

$$g:y = \frac{{4}}{3}x + 1$$

а потом подставить ее в уравнение окружности вместо y
то есть

$$\begin{gathered} x^2 + (\frac{{4x}} {3} + 1 - 1)^2 = 4 \hfill \\ x^2 + \frac{{16x^2 }} {9} = 4 \hfill \\ \frac{{25x^2 }} {9} = 4 \hfill \\ \frac{5} {3}x = 2 \hfill \\ x = \frac{6}{5} \hfill \\ \end{gathered}$$

Но это неправильный x
С рисунком не сходится
Помогите объясните,что я делаю не так.

Дальше по заданию нужно рассчитать расстояние от начала координат до касательной t1 секущей х в положительном пределе.
Вообще даже представить не могу как это реализуется.

Заранее благодарен за помощь.

Вот рисунок:

[Aritaborian]

Во второй формуле (начинающейся с $G:$) явно что-то пропущено. Там просто дробь в скобках, а не уравнение прямой. Поясните.

[Hrundel]

Вообще-то это направляющий вектор
Извените, исправил представление

[Aritaborian]

Во-первых, я не вижу, чтобы вы что-то исправили, во вторых, направляющий вектор не определяет прямую однозначно.
И к чему относится лямбда?

[Hrundel]

Данная запись теперь выглядит один в один как в задаче.

$$G:\left( {\begin{array}{*{20}c} { - 3} \\ 4 \\ \end{array} } \right);\lambda \in \mathbb{R} $$

Лямбда должна указываться для векторно-параметрических уравнений даже если она в данный момент равна 1

Полная запись выглядела бы так:

$$$ G:\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 3} \\ 4 \\ \end{array} } \right);\lambda \in \mathbb{R} $$$

[Aritaborian]

Так. У нас есть угловой коэффициент прямой, равный $\frac43$ (или $-\frac34$? Вас не понять). Уравнение семейства прямых с этим угловым коэффициентом — $y=\frac43x+b$ (или соответственно). Находим точки пересечения этой прямой с нашей окружностью. Смотрим, при каких $b$ (их будет две штуки) уравнение имеет кратный корень.

[Hrundel]

Aritaborian в сообщении #666291 писал(а):

Так. У нас есть угловой коэффициент прямой, равный $\frac43$ (или $-\frac34$? Вас не понять).

Ну, почему же не понять. Так как мне нужны две касательные параллельные прямой, то не стоит особо мудрить - просто проведем перпендикулярную прямую через центр окружности и получим две точки сечения. Соответственно для перпендикулярной прямой воспользуемся нахождением углового коэффициента как для нормали вектора. То есть:

$$\frac43$$

И добавим + 1 чтобы поднять прямую до центра окружности.
Я не понимаю кто кому задачу объясняет :) Вы же знакомы с аналитической геометрией? Или нет?

[BVR]

Угловой коэффициент прямой равен отношению ординаты к абсциссе. Угловой коэффициент нормали будет $\frac{3}{4}$

[Hrundel]

BVR, спасибо. Теперь получил $\frac{8}{5}$ - это уже больше на правду похоже.

А может еще подскажите как найти расстояние от начала координат до прямой.

[BVR]

есть ведь формула расстояния от точки до прямой. Да и без нее можно. Вы же умеете из точки на прямую перпендикуляр опускать аналитически (Вы это фактические уже делали почти)?

[Hrundel]

Хорошо, значит, надо посчитать единичный вектор для перпендикуляра.

Получим:

$$ \begin{gathered} \left\| {t_1 } \right\| = \sqrt {3^2 + 4^2 } = 5 \hfill \\ t_0 = \frac{1} {5}\left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 4 \\ \end{array} } \right) \hfill \\ \end{gathered} $$

А теперь этот вектор на что?

[Алексей К.]

Hrundel,

Вы с самого начала как-то сильно мудрите с действительно простой задачей.
Во-первых, как Вам уже указали, определение прямой в первом сообщении какое-то совсем непонятное. И то, что Вы его написали "один в один как в задаче" не особо помогает. Возможно, задача ориентируется на конкретные лекции, на обозначения, не являющиеся общепринятыми.

Hrundel в сообщении #666272 писал(а):

Для нормали получаем нормированное уравнение прямой

$$g:y = \frac{{4}}{3}x + 1$$

Это не есть "нормированное уравнение прямой". И на кой Вам эта нормаль?

Из Вашей картинки (и только из картинки, а не из странного определения прямой в условии) понятно, что искомые касательные имеют вид $y=-\dfrac43 x+b$ (где $b$ пока нам не известно). Пересекаем эту прямую с окружностью, как Вы уже делали с нормалью.
Только зачем это было делать с какой-то там нормалью --- непонятно. А с касательной --- понятно. Получаем уравнение для $x$:

$$25x^2-24(b-1)x+9b^2-18b-27=0.$$

Решаем его:

$$x_{1,2}=\frac{\ldots\pm3\sqrt{-9b^2+18b+91}}{25}.$$

Чуть-чуть думаем: сколько получилось точек пересечения у прямой с окружностью?
Может, ноль... Не подходит, это не будет касательная. (А при каком, кстати, условии их ноль?)
Может, две... Не подходит, это секущая. (А при каком, кстати, условии их две?)
Вот бы одна --- это же точно будет касательная! А как сделать, чтобы точка пересечения была одна? Как сделать $x_1=x_2$? При каком условии их будет одна?

Ну?

[Hrundel]

Цитата:

Во-первых, как Вам уже указали, определение прямой в первом сообщении какое-то совсем непонятное. И то, что Вы его написали "один в один как в задаче" не особо помогает. Возможно, задача ориентируется на конкретные лекции, на обозначения, не являющиеся общепринятыми.

Проблема пожалуй только в том, что я учусь в немецком университете и наша программа соответствует Оксфорду. У нас и впрямь все по-другому. Запись матриксов тоже не в квадратных а в круглых скобках. Ну и вообще отличий много. Но в общем и главном - все равно одно и то же.

Цитата:

Это не есть "нормированное уравнение прямой".

Тут действительно прошу прощения, так как русскую терминологию не изучал в вузе. Просто решил, что по аналогии должно называться так. Значит - нет.

[Алексей К.]

Это всё мелочи. Вы поняли предложенную мной логику решения задачи? Доделали то, что я не доделал?
(Конечно, не только мной предложенную; просто я уже вынужден был разжевать подробности).

-- 03 янв 2013, 00:04:05 --

Про "нормированное уравнение" можно потом поговорить.

[Hrundel]

Да логику понял, спасибо.

Правда, вопрос о том, как найти расстояние от начала координат до прямой, так и остался открытым.
Будьте добры, если можно еще это объясните.