Общие точки двух функций

[kda_ximik]

Пусть имеются две монотонно-возрастающие функции. Справедливо ли утверждать, что если эти функции имеют одну общую точку (т.е. пересечение), то других точек пересечения уже не будет?
Заранее спасибо!

[Maslov]

Возьмите $y(x) = x$ и $y(x) = x^3$

[ИСН]

"Мелко, Хоботов!" $2x$ и $2x+\sin x$

[gris]

Имелось в виду, что начиная с точки пересечения первые и вторые производные положительны.

[Sender]

ИСН в сообщении #664384 писал(а):

$2x$ и $2x+\sin x$

Можно даже $x$ и $x+\sin x$.

[kda_ximik]

да, Вы правы. Лопухнулся
У меня возник такой вопрос при решении одной задачки из олимпиады, ссылку на которую сегодня выложила Ktina.
$x+98=99(99x^3-98)^3$
ответ очевиден $x=1$, но осталось доказать, что других корней нет (или может быть есть). Вот тут я и подумал про монотонность функций $f(x)=x+98$ и $g(x)=99(99x^3-98)^3$ !

Боюсь, щас Администратор выкинет меня из этого раздела в "олимпиадные задачи"

[ewert]

kda_ximik в сообщении #664403 писал(а):

$x+98=99(99x^3-98)^3$
ответ очевиден $x=1$, но осталось доказать, что других корней нет

Ну там всё очень грубо. Начиная с корня правой, её первая производная монотонно возрастает, а от минус бесконечности до, скажем, минус единицы -- монотонно убывает и при этом больше единицы, так что на этих участках других корней, кроме плюс единицы, быть не может (поскольку в обеих граничных точках левая часть больше правой). Ну и на оставшемся промежутке левая часть тоже достаточно очевидно больше правой.

[nnosipov]

kda_ximik в сообщении #664403 писал(а):

Боюсь, щас Администратор выкинет меня из этого раздела в "олимпиадные задачи"

Я бы не стал этого делать. Та задача не очень сложная, всё шито белыми нитками. И дело там не в монотонности, кстати.

Чтобы было поинтересней, решите уравнение $x+m=(m+1)((m+1)x^3-m)^3$ при $m=1/3$.

[kda_ximik]

nnosipov в сообщении #664427 писал(а):

$x+m=(m+1)((m+1)x^3-m)^3$ при $m=1/3$.

Начал решать в общем виде с $m$. Попытался представить "куб" как произведение первой степени и "квадрата", а потом перемножить с $(m+1)$. Но в итоге правая часть уравнения еще больше раздулась...

[nnosipov]

Воспользуйтесь тем, что один корень уравнения уже известен.

[kda_ximik]

К моему великому сожалению, знаю только один способ решения уравнения с использованием известного корня. В данном случае пришлось бы раскрывать все скобки, приводить подобные, получить уравнение шестой степени относительно $x$. Потом подключаем теорему Безу с целью получения уравнения уже пятой степени и далее решаем пока не найдем все корни. Но тут можно просто утонуть...
(Поэтому и искал какие-либо нюансы в свойствах функций, тем более что встречал подобные уравнения)

[nnosipov]

kda_ximik в сообщении #664462 писал(а):

К моему великому сожалению, знаю только один способ решения уравнения с использованием известного корня. В данном случае пришлось бы раскрывать все скобки, приводить подобные, получить уравнение шестой степени относительно $x$. Потом подключаем теорему Безу с целью получения уравнения уже пятой степени и далее решаем пока не найдем все корни. Но тут можно просто утонуть...

Сначала надо чуть-чуть похимичить с уравнением, а потом всё поделить на $x-1$. Но после этого раскрывать скобки и получать в правой части многочлен 8-й степени (да-да, именно 8-й) категорически не рекомендуется. Напротив, эту правую часть нужно оставить в виде произведения. И это будет произведение очень специальных величин.

[kda_ximik]

nnosipov в сообщении #664500 писал(а):

Сначала надо чуть-чуть похимичить с уравнением, а потом всё поделить на $x-1$.

Уважаемый nnosipov! Не получается у меня одолеть уравнение!
При известном корне можно понизить степень полинома. Для этого нужно как-то выделить либо разность $x-1$ либо $x^3-1$, и чтоб при этом еще было произведение этих разностей на что-либо. Попытался перегруппировать члены в скобках, но ничего путного не вышло:
$(m+1)((m+1)x^3-m)^3-x-m=0$

$m((m(x^3-1)+x^3)-1)+(m(x^3-1)+x^3)^3-x=0$
как ни раскрою, остаются слагаемые, не позволяющие поделить

[nnosipov]

kda_ximik в сообщении #664751 писал(а):

Не получается у меня одолеть уравнение!

Подсказка: нужно переписать уравнение в виде $x-1=(m+1)(((m+1)x^3-m)^3-1)$. Делите теперь на $x-1$ и думайте дальше.

[kda_ximik]

Уважаемый nnosipov Если Вы еще не забыли про мою задачу!
$x+98=99(99x^3-98)^3$
$x-1+99=99(99x^3-98)^3$
$x-1=99(99x^3-98)^3-99$
$x-1=99((99x^3-98)^3-99)$
раскрываем разность кубов:
$x-1=99(99x^3-98-1)((99x^3-98)^2+(99x^3-98)+1)$
$x-1=99^2(x^3-1)((99x^3-98)^2+(99x^3-98)+1)$
опять разность кубов:
$x-1=99^2(x-1)(x^2+x+1)((99x^3-98)^2+(99x^3-98)+1)$
выносим за скобку $(x-1)$. В итоге остается:
$99^2(x^2+x+1)((99x^3-98)^2+(99x^3-98)+1)=1$
от разностей кубов остались два неполных квадрата, которые всегда положительны. Осталось доказать, что левая часть полученного уравнения превосходит $1$, это было бы достаточным условием для отсутствия корней в обл действительных чисел