2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 13:56 


29/05/12
238
Пусть имеются две монотонно-возрастающие функции. Справедливо ли утверждать, что если эти функции имеют одну общую точку (т.е. пересечение), то других точек пересечения уже не будет?
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 14:00 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Возьмите $y(x) = x$ и $y(x) = x^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
"Мелко, Хоботов!" $2x$ и $2x+\sin x$ :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Имелось в виду, что начиная с точки пересечения первые и вторые производные положительны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 14:13 


14/01/11
3065
ИСН в сообщении #664384 писал(а):
$2x$ и $2x+\sin x$

Можно даже $x$ и $x+\sin x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 14:24 


29/05/12
238
да, Вы правы. Лопухнулся :oops:
У меня возник такой вопрос при решении одной задачки из олимпиады, ссылку на которую сегодня выложила Ktina.
$x+98=99(99x^3-98)^3$
ответ очевиден $x=1$, но осталось доказать, что других корней нет (или может быть есть). Вот тут я и подумал про монотонность функций $f(x)=x+98$ и $g(x)=99(99x^3-98)^3$ !

Боюсь, щас Администратор выкинет меня из этого раздела в "олимпиадные задачи"

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 14:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kda_ximik в сообщении #664403 писал(а):
$x+98=99(99x^3-98)^3$
ответ очевиден $x=1$, но осталось доказать, что других корней нет

Ну там всё очень грубо. Начиная с корня правой, её первая производная монотонно возрастает, а от минус бесконечности до, скажем, минус единицы -- монотонно убывает и при этом больше единицы, так что на этих участках других корней, кроме плюс единицы, быть не может (поскольку в обеих граничных точках левая часть больше правой). Ну и на оставшемся промежутке левая часть тоже достаточно очевидно больше правой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 14:52 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
kda_ximik в сообщении #664403 писал(а):
Боюсь, щас Администратор выкинет меня из этого раздела в "олимпиадные задачи"
Я бы не стал этого делать. Та задача не очень сложная, всё шито белыми нитками. И дело там не в монотонности, кстати.

Чтобы было поинтересней, решите уравнение $x+m=(m+1)((m+1)x^3-m)^3$ при $m=1/3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 15:39 


29/05/12
238
nnosipov в сообщении #664427 писал(а):
$x+m=(m+1)((m+1)x^3-m)^3$ при $m=1/3$.

Начал решать в общем виде с $m$. Попытался представить "куб" как произведение первой степени и "квадрата", а потом перемножить с $(m+1)$. Но в итоге правая часть уравнения еще больше раздулась... :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 15:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
Воспользуйтесь тем, что один корень уравнения уже известен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 15:57 


29/05/12
238
К моему великому сожалению, знаю только один способ решения уравнения с использованием известного корня. В данном случае пришлось бы раскрывать все скобки, приводить подобные, получить уравнение шестой степени относительно $x$. Потом подключаем теорему Безу с целью получения уравнения уже пятой степени и далее решаем пока не найдем все корни. Но тут можно просто утонуть...
(Поэтому и искал какие-либо нюансы в свойствах функций, тем более что встречал подобные уравнения)

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение27.12.2012, 17:26 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
kda_ximik в сообщении #664462 писал(а):
К моему великому сожалению, знаю только один способ решения уравнения с использованием известного корня. В данном случае пришлось бы раскрывать все скобки, приводить подобные, получить уравнение шестой степени относительно $x$. Потом подключаем теорему Безу с целью получения уравнения уже пятой степени и далее решаем пока не найдем все корни. Но тут можно просто утонуть...
Сначала надо чуть-чуть похимичить с уравнением, а потом всё поделить на $x-1$. Но после этого раскрывать скобки и получать в правой части многочлен 8-й степени (да-да, именно 8-й) категорически не рекомендуется. Напротив, эту правую часть нужно оставить в виде произведения. И это будет произведение очень специальных величин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение28.12.2012, 10:58 


29/05/12
238
nnosipov в сообщении #664500 писал(а):
Сначала надо чуть-чуть похимичить с уравнением, а потом всё поделить на $x-1$.

Уважаемый nnosipov! Не получается у меня одолеть уравнение!
При известном корне можно понизить степень полинома. Для этого нужно как-то выделить либо разность $x-1$ либо $x^3-1$, и чтоб при этом еще было произведение этих разностей на что-либо. Попытался перегруппировать члены в скобках, но ничего путного не вышло:
$(m+1)((m+1)x^3-m)^3-x-m=0$

$m((m(x^3-1)+x^3)-1)+(m(x^3-1)+x^3)^3-x=0$
как ни раскрою, остаются слагаемые, не позволяющие поделить

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение28.12.2012, 11:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
kda_ximik в сообщении #664751 писал(а):
Не получается у меня одолеть уравнение!
Подсказка: нужно переписать уравнение в виде $x-1=(m+1)(((m+1)x^3-m)^3-1)$. Делите теперь на $x-1$ и думайте дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие точки двух функций
Сообщение04.01.2013, 13:42 


29/05/12
238
Уважаемый nnosipov Если Вы еще не забыли про мою задачу!
$x+98=99(99x^3-98)^3$
$x-1+99=99(99x^3-98)^3$
$x-1=99(99x^3-98)^3-99$
$x-1=99((99x^3-98)^3-99)$
раскрываем разность кубов:
$x-1=99(99x^3-98-1)((99x^3-98)^2+(99x^3-98)+1)$
$x-1=99^2(x^3-1)((99x^3-98)^2+(99x^3-98)+1)$
опять разность кубов:
$x-1=99^2(x-1)(x^2+x+1)((99x^3-98)^2+(99x^3-98)+1)$
выносим за скобку $(x-1)$. В итоге остается:
$99^2(x^2+x+1)((99x^3-98)^2+(99x^3-98)+1)=1$
от разностей кубов остались два неполных квадрата, которые всегда положительны. Осталось доказать, что левая часть полученного уравнения превосходит $1$, это было бы достаточным условием для отсутствия корней в обл действительных чисел

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group