2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ортогональные многочлены
Сообщение10.05.2007, 13:28 


26/09/05
530
Не напомните мне. Любой ортогональный многочлен удовлетворяет уравнению:
$$
\alpha \cdot P^{''} + \beta \cdot P^{'} + \gamma \cdot P = 0.
$$
Только чему равны коэффициенты не помню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортогональные многочлены
Сообщение10.05.2007, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2007, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
П.К.Суетин. Классические ортогональные многочлены. "Наука", Москва, 1976.

Теорема 2.1. Если весовая функция $h(x)$ на интервале $(a,b)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона
$$\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{p_0+p_1x}{q_0+q_1x+q_2x^2}=\frac{A(x)}{B(x)}$$
и, кроме того, на концах промежутка ортогональности $(a,b)$ удовлетворяет предельным соотношениям
$$\lim\limits_{x\to a^+}h(x)B(x)=\lim\limits_{x\to b^-}h(x)B(x)=0\text{,}$$
то ортогональный многочлен $P_n(x)$ является решением дифференциального уравнения
$$B(x)y''+(A(x)+B'(x))y'-\gamma_ny=0\text{,}$$
где $\gamma_n=n(p_1+(n+1)q_2)$.


Здесь предполагается, что в последовательности ортогональных многочленов $P_0(x),P_1(x),P_2(x),\dots,P_n(x),\dots$ многочлен $P_n(x)$ имеет степень $n$, а ортогональность определяется равенством
$$\int\limits_a^bP_m(x)P_n(x)h(x)dx=0$$
при $m\neq n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.05.2007, 23:20 


26/09/05
530
В качестве весовой функции можно 1 использовать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.05.2007, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Можно. Получатся многочлены Лежандра. Дифференциальное уравнение для них: $(1-x^2)y''-2xy+n(n+1)y=0$ (на отрезке $[-1,1]$).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.05.2007, 15:38 


26/09/05
530
Угумс.Вопрос по книге Суетина:
почему на странице 52 (начало главы II) под пунктом 1 было произведен перенос начало координат и получилось уравнение
$$
\frac{y'}{y} = -2\beta x.
$$
А откуда -2 взялась-то?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.05.2007, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
При $q_1=q_2=0$ уравнение Пирсона имеет вид $\frac{y'}y=\frac{p_0+p_1x}{q_0}$. Обозначая "иксом" выражение $\frac{p_0}{p_1}+x$ (видимо, неявно предполагается, что $p_1\neq 0$) и вводя параметр $\beta$ равенством $-2\beta=\frac{p_1}{q_0}$, получим требуемое.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2007, 23:11 


26/09/05
530
Да.Такому уравнению Пирсона удовлетворяют только классическое ортогональные многочлены.А нет похожей формулы для любого семейства ортогональных многочленов?
Видимо, там будут тоже какие-то условия на вес $h(x)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.05.2007, 14:00 


26/09/05
530
Вообщем,таких дифференциальных уравнений нет,т.ч. любой ортогональный многочлен удовлетворяет некоторому диф.уравнению.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2007, 13:58 


26/09/05
530
В дифференциальном уравнении Пирсона рассматривается квадратная весовая функция (a*z*z+b*z+c). С такой функцией удовлетворяют диф.уравнению только классические ортогональные многочлены. Ну а если взять не квадратную весовую функцию,а любую,но наложить какие-то другие ограничения (ежели на уравнение Пирсона),то какие ортогональные многочлены будут удовлетворять диф.уравнению 2-ого порядка?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.05.2007, 21:58 


26/09/05
530
Млин..ну этим вопросо никто никогда не занимался чтоли?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.05.2007, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Falex писал(а):
Млин..ну этим вопросо никто никогда не занимался чтоли?


Я точно не занимался. Поэтому сказать ничего не могу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.05.2007, 12:46 


26/09/05
530
Someone,спасибо: утешил +)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group