2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ортогональные многочлены
Сообщение10.05.2007, 13:28 
Не напомните мне. Любой ортогональный многочлен удовлетворяет уравнению:
$$
\alpha \cdot P^{''} + \beta \cdot P^{'} + \gamma \cdot P = 0.
$$
Только чему равны коэффициенты не помню.

 
 
 
 Re: Ортогональные многочлены
Сообщение10.05.2007, 16:09 
Аватара пользователя
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials

 
 
 
 
Сообщение10.05.2007, 16:37 
Аватара пользователя
П.К.Суетин. Классические ортогональные многочлены. "Наука", Москва, 1976.

Теорема 2.1. Если весовая функция $h(x)$ на интервале $(a,b)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона
$$\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{p_0+p_1x}{q_0+q_1x+q_2x^2}=\frac{A(x)}{B(x)}$$
и, кроме того, на концах промежутка ортогональности $(a,b)$ удовлетворяет предельным соотношениям
$$\lim\limits_{x\to a^+}h(x)B(x)=\lim\limits_{x\to b^-}h(x)B(x)=0\text{,}$$
то ортогональный многочлен $P_n(x)$ является решением дифференциального уравнения
$$B(x)y''+(A(x)+B'(x))y'-\gamma_ny=0\text{,}$$
где $\gamma_n=n(p_1+(n+1)q_2)$.


Здесь предполагается, что в последовательности ортогональных многочленов $P_0(x),P_1(x),P_2(x),\dots,P_n(x),\dots$ многочлен $P_n(x)$ имеет степень $n$, а ортогональность определяется равенством
$$\int\limits_a^bP_m(x)P_n(x)h(x)dx=0$$
при $m\neq n$.

 
 
 
 
Сообщение10.05.2007, 23:20 
В качестве весовой функции можно 1 использовать?

 
 
 
 
Сообщение11.05.2007, 00:41 
Аватара пользователя
Можно. Получатся многочлены Лежандра. Дифференциальное уравнение для них: $(1-x^2)y''-2xy+n(n+1)y=0$ (на отрезке $[-1,1]$).

 
 
 
 
Сообщение11.05.2007, 15:38 
Угумс.Вопрос по книге Суетина:
почему на странице 52 (начало главы II) под пунктом 1 было произведен перенос начало координат и получилось уравнение
$$
\frac{y'}{y} = -2\beta x.
$$
А откуда -2 взялась-то?

 
 
 
 
Сообщение11.05.2007, 20:43 
Аватара пользователя
При $q_1=q_2=0$ уравнение Пирсона имеет вид $\frac{y'}y=\frac{p_0+p_1x}{q_0}$. Обозначая "иксом" выражение $\frac{p_0}{p_1}+x$ (видимо, неявно предполагается, что $p_1\neq 0$) и вводя параметр $\beta$ равенством $-2\beta=\frac{p_1}{q_0}$, получим требуемое.

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 23:11 
Да.Такому уравнению Пирсона удовлетворяют только классическое ортогональные многочлены.А нет похожей формулы для любого семейства ортогональных многочленов?
Видимо, там будут тоже какие-то условия на вес $h(x)$.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2007, 14:00 
Вообщем,таких дифференциальных уравнений нет,т.ч. любой ортогональный многочлен удовлетворяет некоторому диф.уравнению.

 
 
 
 
Сообщение25.05.2007, 13:58 
В дифференциальном уравнении Пирсона рассматривается квадратная весовая функция (a*z*z+b*z+c). С такой функцией удовлетворяют диф.уравнению только классические ортогональные многочлены. Ну а если взять не квадратную весовую функцию,а любую,но наложить какие-то другие ограничения (ежели на уравнение Пирсона),то какие ортогональные многочлены будут удовлетворять диф.уравнению 2-ого порядка?

 
 
 
 
Сообщение26.05.2007, 21:58 
Млин..ну этим вопросо никто никогда не занимался чтоли?

 
 
 
 
Сообщение26.05.2007, 22:58 
Аватара пользователя
Falex писал(а):
Млин..ну этим вопросо никто никогда не занимался чтоли?


Я точно не занимался. Поэтому сказать ничего не могу.

 
 
 
 
Сообщение27.05.2007, 12:46 
Someone,спасибо: утешил +)

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group