Ортогональные многочлены

[Falex]

Не напомните мне. Любой ортогональный многочлен удовлетворяет уравнению:

$$ \alpha \cdot P^{''} + \beta \cdot P^{'} + \gamma \cdot P = 0. $$

Только чему равны коэффициенты не помню.

[worm2]

http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials

[Someone]

П.К.Суетин. Классические ортогональные многочлены. "Наука", Москва, 1976.

Теорема 2.1. Если весовая функция $h(x)$ на интервале $(a,b)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона

$$\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{p_0+p_1x}{q_0+q_1x+q_2x^2}=\frac{A(x)}{B(x)}$$

и, кроме того, на концах промежутка ортогональности $(a,b)$ удовлетворяет предельным соотношениям

$$\lim\limits_{x\to a^+}h(x)B(x)=\lim\limits_{x\to b^-}h(x)B(x)=0\text{,}$$

то ортогональный многочлен $P_n(x)$ является решением дифференциального уравнения

$$B(x)y''+(A(x)+B'(x))y'-\gamma_ny=0\text{,}$$

где $\gamma_n=n(p_1+(n+1)q_2)$.

Здесь предполагается, что в последовательности ортогональных многочленов $P_0(x),P_1(x),P_2(x),\dots,P_n(x),\dots$ многочлен $P_n(x)$ имеет степень $n$, а ортогональность определяется равенством

$$\int\limits_a^bP_m(x)P_n(x)h(x)dx=0$$

при $m\neq n$.

[Falex]

В качестве весовой функции можно 1 использовать?

[Someone]

Можно. Получатся многочлены Лежандра. Дифференциальное уравнение для них: $(1-x^2)y''-2xy+n(n+1)y=0$ (на отрезке $[-1,1]$).

[Falex]

Угумс.Вопрос по книге Суетина:
почему на странице 52 (начало главы II) под пунктом 1 было произведен перенос начало координат и получилось уравнение

$$ \frac{y'}{y} = -2\beta x. $$

А откуда -2 взялась-то?

[Someone]

При $q_1=q_2=0$ уравнение Пирсона имеет вид $\frac{y'}y=\frac{p_0+p_1x}{q_0}$. Обозначая "иксом" выражение $\frac{p_0}{p_1}+x$ (видимо, неявно предполагается, что $p_1\neq 0$) и вводя параметр $\beta$ равенством $-2\beta=\frac{p_1}{q_0}$, получим требуемое.

[Falex]

Да.Такому уравнению Пирсона удовлетворяют только классическое ортогональные многочлены.А нет похожей формулы для любого семейства ортогональных многочленов?
Видимо, там будут тоже какие-то условия на вес $h(x)$.

[Falex]

Вообщем,таких дифференциальных уравнений нет,т.ч. любой ортогональный многочлен удовлетворяет некоторому диф.уравнению.

[Falex]

В дифференциальном уравнении Пирсона рассматривается квадратная весовая функция (a*z*z+b*z+c). С такой функцией удовлетворяют диф.уравнению только классические ортогональные многочлены. Ну а если взять не квадратную весовую функцию,а любую,но наложить какие-то другие ограничения (ежели на уравнение Пирсона),то какие ортогональные многочлены будут удовлетворять диф.уравнению 2-ого порядка?

[Falex]

Млин..ну этим вопросо никто никогда не занимался чтоли?

[Someone]

Falex писал(а):

Млин..ну этим вопросо никто никогда не занимался чтоли?

Я точно не занимался. Поэтому сказать ничего не могу.

[Falex]

Someone,спасибо: утешил +)