Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта

[SergeyGubanov]

Отделяю тему из topic66252.html

Lvov в сообщении #663207 писал(а):

Парируя сообщение г. Someone, Сергей ошибается. Метрика (4) отвечает плоскому пространству в своей стационарной неподвижной СО.

Да нет же, не в стационарной, а в падающей.

Постановка задачи.

Рассматривается метрика чёрной дыры в системе координат Пэнлеве:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Я утверждаю, что трехмерная метрика будет Евклидовой в системе отсчёта движущейся по закону

$$\frac{dr}{dt} = - c \sqrt{\frac{r_g }{ r}}$$

то есть в свободно падающей из бесконечности с нулевой начальной скоростью. А в стационарной системе отсчёта трёхмерная метрика будет "шварцшильдовской".

Далее $r_g = \frac{2 k M}{c^2}$.

Падающая система отсчёта:

$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ 1, -\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}, 0, 0 \right\}$$

$$\bar{e}_0 = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad \bar{e}_1 = \frac{\partial}{\partial r}, \quad \bar{e}_2 = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad \bar{e}_3 = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}$$

$$\bar{e}^0 = c \, dt, \quad \bar{e}^1 = dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt, \quad \bar{e}^2 = r \, d\theta, \quad \bar{e}^3 = r \, \sin\theta \, d\varphi$$

Стационарная система отсчёта:

$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}}, 0, 0, 0 \right\}$$

$$e_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad e_1 = \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad e_2 = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad e_3 = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}$$

$$e^0 = \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, dr, \quad e^1 = \frac{dr}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}}, \quad e^2 = r \, d\theta, \quad e^3 = r \, \sin\theta \, d\varphi$$

Система дифференциальных связей для нахождения трёхмерной метрики в выбранной системе отсчёта:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} e^{0} &=& 0, \\ d \ell^2 &=& \left( e^{1} \right)^2 + \left( e^{2} \right)^2 + \left( e^{3} \right)^2. \\ \end{array} \right.$$

Подставляем, получаем...

Метрика 3-пространства в падающей системе отсчёта получается евклидовой:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} dt &=& 0, \\ d \ell^2 &=& dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2. \\ \end{array} \right.$$

Метрика 3-пространства в стационарной системе отсчёта получается "шварцшильдовской":

$$\left\{ \begin{array}{rcl} c \, dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, dr &=& 0, \\ d \ell^2 &=& \frac{dr^2}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2, \\ \end{array} \right.$$

Связь времениподобной координаты Шварцшильда $x^0$ с временем Пэнлеве $t$:

$$dx^0 = c \, dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, dr$$

-- 25.12.2012, 13:12 --

Для полноты картины напишу ещё связь между этими двумя системами отсчёта:

$$\bar{e}^{\mu}_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \left( e^{\mu}_0 - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, e^{\mu}_1 \right)$$

$$\bar{e}^{\mu}_1 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \left( - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, e^{\mu}_0 + e^{\mu}_1 \right)$$

$$\bar{e}^{\mu}_2 &=& e^{\mu}_2$$

$$\bar{e}^{\mu}_3 &=& e^{\mu}_3$$

Это локальное Лоренцево преобразование (буст) со скоростью $V = \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$.

В общем случае:

$$e'^{\mu}_a = e^{\mu}_b \; L^{b}_{\; a}, \quad e'^a_{\mu} = L^{a}_{\; b} \; e^b_{\mu}, \quad \eta_{a b} \; L^{a}_{\; c} \; L^{b}_{\; d} = \eta_{c d}$$

[pohius]

SergeyGubanov в сообщении #663480 писал(а):

$$\frac{dr}{dt} = - c \sqrt{\frac{r_g }{ r}}$$

А как так получилось что слева может стоять положительное число, а справа строго отрицательное?

Я ваще не понимаю к чему этот сыр-бор с метриками. Есть решение конкретной задачи, например гравирующей точечной массы. Нашли решение. Оно привязано к конкретным координатам, переходя к другим будет меняться "математическая запись" метрики. Но она останется по прежнему решением все той же задачи. Если тебе проще работать с метрикой где $g_{00}=1$ ну так замечательно. Это будет все тоже решение Шварцшильда и все физические результаты будут одинаковыми после перевода из одних координат в другие. В чем сакральный смысл данного занятия?

[SergeyGubanov]

Частица падает, её координата $r$ с течением времени $t$ уменьшается, производная $\frac{dr}{dt} < 0$.

Раскрываем скобки, получаем для дважды ковариантной компоненты $g_{0 0} = 1 - \frac{r_g}{r}$.
Должно быть Вы имели в виду дважды контравариантную компоненту $g^{0 0} = 1$?

Сакральный смысл в этой теме вовсе не в системах координат, а в трёхмерной метрике в разных системах отсчёта.

[pohius]

Да нет, именно ковариантную, просто я не внимательно посмотрел.
А если частица не падает? Или вы Шварцшильда под горизонтом рассматриваете?

Не понимаю почему вы так "придираетесь" и системе отсчета и системе координат. Я к "своей" системе координат добавляю пробное тело и это становиться системой отсчета. Конечно это немного небрежно, но никаких недопониманий в физике вызывать не должно.

Ну дык зачем нужна Шварцшильдова метрика в "вашей" системе отсчета. Чем она крута, помните вопрос про бонусы? )

[SergeyGubanov]

pohius, одно пробное тело, то есть один точечный наблюдатель задаёт бесконечно малую систему отсчёта вдоль своей мировой линии. Для задания системы отсчёта в конечной области пространства нужна конгруэнция мировых линий континуума точечных наблюдателей. Математически требуется задать времениподобное векторное поле $e_{0}^{\mu}(x)$, тогда мировые линии точечных наблюдателей этой системы отсчёта:

$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = e_{0}^{\mu} \left( x(s) \right)$$

Оставшиеся векторные поля $e_{1}^{\mu}$, $e_{2}^{\mu}$ и $e_{3}^{\mu}$ указывающие 3-пространственные направления этой системы отсчёта можно достроить воспользовавшись алгоритмом ортоганализации, а потом их можно крутить вокруг самих себя матрицей вращения как надо в той или иной физической задаче.

Короче,

задание компонент метрического тензора $g_{\mu \nu} (x)$ равно заданию системы координат,

задание четвёрки векторных полей $e_{a}^{\mu}(x)$ равно заданию системы отсчёта.

Вещи эти друг от друга не зависящие. Векторные поля, в принципе, можно задавать не конкретизируя систему координат. Соответственно, систему координат можно менять не изменяя векторные поля (их компоненты в новой системе координат просто изменятся согласно тензорному закону преобразования, но само поле в пространстве не изменится). Так же, имея одну систему координат, можно задать сколько угодно систем отсчёта (сколько угодно векторных полей $e_{a}^{\mu}$).

Про "бонусы" от использования системы координат в которой дважды контравариантная компонента метрики $g^{00} = 1$ здесь, как бы, оффтоп.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #663932 писал(а):

задание компонент метрического тензора $g_{\mu \nu} (x)$ равно заданию системы координат

Нет.

SergeyGubanov в сообщении #663932 писал(а):

Соответственно, систему координат можно менять не изменяя векторные поля

Только в большинстве изложений ОТО принято считать систему отсчёта голономной, и все формулы написаны с учётом этого.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #663944 писал(а):

Только в большинстве изложений ОТО принято считать систему отсчёта голономной, и все формулы написаны с учётом этого.

По умолчанию полагают систему отсчёта неподвижной относительно системы координат, то есть четырёхвектор скорости точечных наблюдателей этой системы:

$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{g_{0 0}}}, 0, 0, 0 \right\}$$

Множитель $\frac{1}{\sqrt{g_{0 0}}}$ получается из условия:

$$g_{\mu \nu} {\frac{dx}{ds}}^{\mu} {\frac{dx}{ds}}^{\nu} = 1$$

Например, возьмём Шварцшильда

$$ds^2 = \left( 1 - \frac{r_g}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{r_g}{r}} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2$$

$$e^0 = \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} \, c \, dt, \quad e^1 = \frac{dr}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}}}, , \quad e^2 = r \, d\theta, \quad e^3 = r \sin(\theta) d \varphi$$

$$ds^2 = \left( e^0 \right)^2 - \left( e^1 \right)^2 - \left( e^2 \right)^2 - \left( e^3 \right)^2$$

Как тут с голономностью?

Форма $e^0$ не голономна $d e^0 = -\frac{c \, r_g}{ 2 r^2 \sqrt{1 - \frac{r_g}{r} }} \, dr \wedge dt \ne 0$.
Форма $e^1$ голономна $d e^1 = 0$.
Форма $e^2$ не голономна $d e^2 = dr \wedge d\theta \ne 0$.
Форма $e^3$ не голономна $d e^3 = \sin(\theta) \, dr \wedge d \varphi + r \cos(\theta) d\theta \wedge d \varphi\ne 0$

Формы $e^2$ и $e^3$ останутся неголономными даже при $r_g = 0$, то есть их неголономность связана не с гравитацией, а с криволинейностью сферической системы координат.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #664169 писал(а):

По умолчанию полагают систему отсчёта неподвижной относительно системы координат

Нет. Голономной. Определение см. Иваненко, Сарданашвили "Гравитация".

[kirillD]

SergeyGubanov в сообщении #664169 писал(а):

Munin в сообщении #663944 писал(а):

Только в большинстве изложений ОТО принято считать систему отсчёта голономной, и все формулы написаны с учётом этого.

По умолчанию полагают систему отсчёта неподвижной относительно системы координат, то есть четырёхвектор скорости точечных наблюдателей этой системы:

$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{g_{0 0}}}, 0, 0, 0 \right\}$$

Конечно, так и надо.

[pohius]

SergeyGubanov в сообщении #663932 писал(а):

задание компонент метрического тензора $g_{\mu \nu} (x)$ равно заданию системы координат

Чета тут не то.
Давайте мыслить более абстрактно. То есть время у нас не выделено, и мы не знаем что такое мировая линия.
Рассмотрим $R^3$ и в ней какую то $R^2$ поверхность. Спроектируем точки $R^2$ на $XY$. Если поверхность "хорошая" то отображение у нас взаимно-однозначное. То есть на поверхности образовалась сетка, система координат. Теперь мы можем индуцировать из $R^3$ метрику, и записать ее в координатах на поверхности. Таким образом мы ввели метрику, которая полностью определяет геометрию поверхности. Возьмем и чуть повернем нашу поверхность относительно оси $Z$. Сетка измениться, в месте с ней запись метрики в сеточных координатах но геометрия поверхности останется той же.
То есть метрический тензор не задает систему координат, наоборот, в некоторой системе координат метрический тензор задает геометрию поверхности.

Что касается СК уговорили, впредь буду поаккуратнее )).

Ну и старый вопрос "А если частица не падает?" Область рассмотрения $r < r_g$

[Munin]

pohius в сообщении #664211 писал(а):

Что касается СК уговорили, впредь буду поаккуратнее )).

Лучше не пользуйтесь слухами, а прочитайте нормальные определения.

[SergeyGubanov]

pohius, про метрический тензор я не понял. Просто как тензор он конечно существует без конкретизации системы координат, как и все тензоры. Я говорил про задание его компонент в системе координат, что автоматом подразумевает уже осуществлённый выбор системы координат.

Про частицу, которая не падает при $r < r_g$ -- нету таких частиц. Это всё равно что частица движущаяся быстрее света.

Munin, Иваненко, Сарданашвили "Гравитация" у меня где-то дома валяется, приду посмотрю, но, вообще-то, было бы удобнее (для всех участников читающих эту ветку) если бы Вы используемое Вами определение голономной системы отсчёта написали здесь. Возможно спорить стало бы не о чем сразу.

[SergeyGubanov]

Посмотрел Иваненко, Сарданашвили "Гравитация" 2004, УРСС, глава 2, параграф 1, стр 67, формулы (1.1) и (1.2).

Всё как у меня, только буквы разные.

В моих обозначениях символы $e^a$ и $e_a$ они называют базисом системы отсчёта, а символы $\partial_{\mu}$ и $dx^{\mu}$ они называют базисом голономной системы отсчёта.

Спорить не о чем...

[bayak]

SergeyGubanov в сообщении #664633 писал(а):

Спорить не о чем...

Критерий голономности дифференциальной 1-формы $a(x)$ всё же несколько иной. Необходимо выполнение условия $a(x)\wedge da(x)=0$.

[pohius]

SergeyGubanov в сообщении #664522 писал(а):

Про частицу, которая не падает при $r < r_g$ -- нету таких частиц.

То есть преобразования координат у вас для области $0 < r < r_g$