pohius, одно пробное тело, то есть один точечный наблюдатель задаёт бесконечно малую систему отсчёта вдоль своей мировой линии. Для задания системы отсчёта в конечной области пространства нужна конгруэнция мировых линий континуума точечных наблюдателей. Математически требуется задать времениподобное векторное поле

, тогда мировые линии точечных наблюдателей этой системы отсчёта:

Оставшиеся векторные поля

,

и

указывающие 3-пространственные направления этой системы отсчёта можно достроить воспользовавшись алгоритмом ортоганализации, а потом их можно крутить вокруг самих себя матрицей вращения как надо в той или иной физической задаче.
Короче,
задание компонент метрического тензора

равно заданию системы координат,
задание четвёрки векторных полей

равно заданию системы отсчёта.
Вещи эти друг от друга не зависящие. Векторные поля, в принципе, можно задавать не конкретизируя систему координат. Соответственно, систему координат можно менять не изменяя векторные поля (их компоненты в новой системе координат просто изменятся согласно тензорному закону преобразования, но само поле в пространстве не изменится). Так же, имея одну систему координат, можно задать сколько угодно систем отсчёта (сколько угодно векторных полей

).
Про "бонусы" от использования системы координат в которой дважды контравариантная компонента метрики

здесь, как бы, оффтоп.