2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение25.12.2012, 13:00 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Отделяю тему из topic66252.html
Lvov в сообщении #663207 писал(а):
Парируя сообщение г. Someone, Сергей ошибается. Метрика (4) отвечает плоскому пространству в своей стационарной неподвижной СО.
Да нет же, не в стационарной, а в падающей.

Постановка задачи.

Рассматривается метрика чёрной дыры в системе координат Пэнлеве:
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr  + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$
Я утверждаю, что трехмерная метрика будет Евклидовой в системе отсчёта движущейся по закону
$$\frac{dr}{dt} = - c \sqrt{\frac{r_g }{ r}}$$
то есть в свободно падающей из бесконечности с нулевой начальной скоростью. А в стационарной системе отсчёта трёхмерная метрика будет "шварцшильдовской".

Далее $r_g = \frac{2 k M}{c^2}$.

Падающая система отсчёта:
$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ 1, -\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}, 0, 0 \right\}$$
$$\bar{e}_0 = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad
\bar{e}_1 = \frac{\partial}{\partial r}, \quad
\bar{e}_2 = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad
\bar{e}_3 = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}$$
$$\bar{e}^0 = c \, dt, \quad
\bar{e}^1 = dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt, \quad
\bar{e}^2 = r \, d\theta, \quad
\bar{e}^3 = r \, \sin\theta \, d\varphi$$

Стационарная система отсчёта:
$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}}, 0, 0, 0 \right\}$$
$$e_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad
e_1 = \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad
e_2 = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad
e_3 = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}$$
$$e^0 = \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, dr, \quad
e^1 = \frac{dr}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}}, \quad
e^2 = r \, d\theta, \quad
e^3 = r \, \sin\theta \, d\varphi$$

Система дифференциальных связей для нахождения трёхмерной метрики в выбранной системе отсчёта:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
e^{0} &=& 0, \\
d \ell^2 &=&
\left( e^{1} \right)^2
+ \left( e^{2} \right)^2
+ \left( e^{3} \right)^2. \\
\end{array}
\right.$$

Подставляем, получаем...

Метрика 3-пространства в падающей системе отсчёта получается евклидовой:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
dt &=& 0, \\
d \ell^2 &=&
dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2. \\
\end{array}
\right.$$

Метрика 3-пространства в стационарной системе отсчёта получается "шварцшильдовской":
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
c \, dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, dr &=& 0, \\
d \ell^2 &=&
\frac{dr^2}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2, \\
\end{array}
\right.$$
Связь времениподобной координаты Шварцшильда $x^0$ с временем Пэнлеве $t$:
$$dx^0 = c \, dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, dr$$

-- 25.12.2012, 13:12 --

Для полноты картины напишу ещё связь между этими двумя системами отсчёта:

$$\bar{e}^{\mu}_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \left( e^{\mu}_0 - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, e^{\mu}_1 \right)$$
$$\bar{e}^{\mu}_1 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \left( - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, e^{\mu}_0 + e^{\mu}_1 \right)$$
$$\bar{e}^{\mu}_2 &=& e^{\mu}_2$$
$$\bar{e}^{\mu}_3 &=& e^{\mu}_3$$

Это локальное Лоренцево преобразование (буст) со скоростью $V = \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$.

В общем случае:
$$e'^{\mu}_a = e^{\mu}_b \; L^{b}_{\; a}, \quad
e'^a_{\mu} = L^{a}_{\; b} \; e^b_{\mu}, \quad
\eta_{a b} \; L^{a}_{\; c} \; L^{b}_{\; d} = \eta_{c d}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение25.12.2012, 17:52 


15/02/11
214
SergeyGubanov в сообщении #663480 писал(а):
$$\frac{dr}{dt} = - c \sqrt{\frac{r_g }{ r}}$$

А как так получилось что слева может стоять положительное число, а справа строго отрицательное?

Я ваще не понимаю к чему этот сыр-бор с метриками. Есть решение конкретной задачи, например гравирующей точечной массы. Нашли решение. Оно привязано к конкретным координатам, переходя к другим будет меняться "математическая запись" метрики. Но она останется по прежнему решением все той же задачи. Если тебе проще работать с метрикой где $g_{00}=1$ ну так замечательно. Это будет все тоже решение Шварцшильда и все физические результаты будут одинаковыми после перевода из одних координат в другие. В чем сакральный смысл данного занятия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение25.12.2012, 18:27 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Частица падает, её координата $r$ с течением времени $t$ уменьшается, производная $\frac{dr}{dt} < 0$.

Раскрываем скобки, получаем для дважды ковариантной компоненты $g_{0 0} = 1 - \frac{r_g}{r}$.
Должно быть Вы имели в виду дважды контравариантную компоненту $g^{0 0} = 1$?

Сакральный смысл в этой теме вовсе не в системах координат, а в трёхмерной метрике в разных системах отсчёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение25.12.2012, 18:44 


15/02/11
214
Да нет, именно ковариантную, просто я не внимательно посмотрел.
А если частица не падает? Или вы Шварцшильда под горизонтом рассматриваете?

Не понимаю почему вы так "придираетесь" и системе отсчета и системе координат. Я к "своей" системе координат добавляю пробное тело и это становиться системой отсчета. Конечно это немного небрежно, но никаких недопониманий в физике вызывать не должно.

Ну дык зачем нужна Шварцшильдова метрика в "вашей" системе отсчета. Чем она крута, помните вопрос про бонусы? )

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение26.12.2012, 11:09 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
pohius, одно пробное тело, то есть один точечный наблюдатель задаёт бесконечно малую систему отсчёта вдоль своей мировой линии. Для задания системы отсчёта в конечной области пространства нужна конгруэнция мировых линий континуума точечных наблюдателей. Математически требуется задать времениподобное векторное поле $e_{0}^{\mu}(x)$, тогда мировые линии точечных наблюдателей этой системы отсчёта:
$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = e_{0}^{\mu} \left( x(s) \right)$$
Оставшиеся векторные поля $e_{1}^{\mu}$, $e_{2}^{\mu}$ и $e_{3}^{\mu}$ указывающие 3-пространственные направления этой системы отсчёта можно достроить воспользовавшись алгоритмом ортоганализации, а потом их можно крутить вокруг самих себя матрицей вращения как надо в той или иной физической задаче.

Короче,

задание компонент метрического тензора $g_{\mu \nu} (x)$ равно заданию системы координат,

задание четвёрки векторных полей $e_{a}^{\mu}(x)$ равно заданию системы отсчёта.

Вещи эти друг от друга не зависящие. Векторные поля, в принципе, можно задавать не конкретизируя систему координат. Соответственно, систему координат можно менять не изменяя векторные поля (их компоненты в новой системе координат просто изменятся согласно тензорному закону преобразования, но само поле в пространстве не изменится). Так же, имея одну систему координат, можно задать сколько угодно систем отсчёта (сколько угодно векторных полей $e_{a}^{\mu}$).

Про "бонусы" от использования системы координат в которой дважды контравариантная компонента метрики $g^{00} = 1$ здесь, как бы, оффтоп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение26.12.2012, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
SergeyGubanov в сообщении #663932 писал(а):
задание компонент метрического тензора $g_{\mu \nu} (x)$ равно заданию системы координат

Нет.

SergeyGubanov в сообщении #663932 писал(а):
Соответственно, систему координат можно менять не изменяя векторные поля

Только в большинстве изложений ОТО принято считать систему отсчёта голономной, и все формулы написаны с учётом этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение26.12.2012, 21:19 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #663944 писал(а):
Только в большинстве изложений ОТО принято считать систему отсчёта голономной, и все формулы написаны с учётом этого.
По умолчанию полагают систему отсчёта неподвижной относительно системы координат, то есть четырёхвектор скорости точечных наблюдателей этой системы:
$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{g_{0 0}}}, 0, 0, 0 \right\}$$
Множитель $\frac{1}{\sqrt{g_{0 0}}}$ получается из условия:
$$g_{\mu \nu} {\frac{dx}{ds}}^{\mu} {\frac{dx}{ds}}^{\nu} = 1$$

Например, возьмём Шварцшильда
$$ds^2 = \left( 1 - \frac{r_g}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{r_g}{r}} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2$$
$$e^0 = \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} \, c \, dt, \quad
e^1 = \frac{dr}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}}}, , \quad 
e^2 = r \, d\theta, \quad
e^3 = r \sin(\theta) d \varphi$$
$$ds^2 = \left( e^0 \right)^2 - \left( e^1 \right)^2 - \left( e^2 \right)^2 - \left( e^3 \right)^2$$

Как тут с голономностью?

Форма $e^0$ не голономна $d e^0 = -\frac{c \, r_g}{ 2 r^2 \sqrt{1 - \frac{r_g}{r} }} \, dr \wedge dt \ne 0$.
Форма $e^1$ голономна $d e^1 = 0$.
Форма $e^2$ не голономна $d e^2 = dr \wedge d\theta \ne 0$.
Форма $e^3$ не голономна $d e^3 = \sin(\theta) \, dr \wedge d \varphi + r \cos(\theta) d\theta \wedge d \varphi\ne 0$

Формы $e^2$ и $e^3$ останутся неголономными даже при $r_g = 0$, то есть их неголономность связана не с гравитацией, а с криволинейностью сферической системы координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение26.12.2012, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
SergeyGubanov в сообщении #664169 писал(а):
По умолчанию полагают систему отсчёта неподвижной относительно системы координат

Нет. Голономной. Определение см. Иваненко, Сарданашвили "Гравитация".

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение26.12.2012, 22:56 


26/12/12
81
SergeyGubanov в сообщении #664169 писал(а):
Munin в сообщении #663944 писал(а):
Только в большинстве изложений ОТО принято считать систему отсчёта голономной, и все формулы написаны с учётом этого.
По умолчанию полагают систему отсчёта неподвижной относительно системы координат, то есть четырёхвектор скорости точечных наблюдателей этой системы:
$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{g_{0 0}}}, 0, 0, 0 \right\}$$

Конечно, так и надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение26.12.2012, 23:01 


15/02/11
214
SergeyGubanov в сообщении #663932 писал(а):
задание компонент метрического тензора $g_{\mu \nu} (x)$ равно заданию системы координат

Чета тут не то.
Давайте мыслить более абстрактно. То есть время у нас не выделено, и мы не знаем что такое мировая линия.
Рассмотрим $R^3$ и в ней какую то $R^2$ поверхность. Спроектируем точки $R^2$ на $XY$. Если поверхность "хорошая" то отображение у нас взаимно-однозначное. То есть на поверхности образовалась сетка, система координат. Теперь мы можем индуцировать из $R^3$ метрику, и записать ее в координатах на поверхности. Таким образом мы ввели метрику, которая полностью определяет геометрию поверхности. Возьмем и чуть повернем нашу поверхность относительно оси $Z$. Сетка измениться, в месте с ней запись метрики в сеточных координатах но геометрия поверхности останется той же.
То есть метрический тензор не задает систему координат, наоборот, в некоторой системе координат метрический тензор задает геометрию поверхности.

Что касается СК уговорили, впредь буду поаккуратнее )).

Ну и старый вопрос "А если частица не падает?" Область рассмотрения $r < r_g$

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение27.12.2012, 06:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pohius в сообщении #664211 писал(а):
Что касается СК уговорили, впредь буду поаккуратнее )).

Лучше не пользуйтесь слухами, а прочитайте нормальные определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение27.12.2012, 18:24 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
pohius, про метрический тензор я не понял. Просто как тензор он конечно существует без конкретизации системы координат, как и все тензоры. Я говорил про задание его компонент в системе координат, что автоматом подразумевает уже осуществлённый выбор системы координат.

Про частицу, которая не падает при $r < r_g$ -- нету таких частиц. Это всё равно что частица движущаяся быстрее света.

Munin, Иваненко, Сарданашвили "Гравитация" у меня где-то дома валяется, приду посмотрю, но, вообще-то, было бы удобнее (для всех участников читающих эту ветку) если бы Вы используемое Вами определение голономной системы отсчёта написали здесь. Возможно спорить стало бы не о чем сразу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение27.12.2012, 22:04 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Посмотрел Иваненко, Сарданашвили "Гравитация" 2004, УРСС, глава 2, параграф 1, стр 67, формулы (1.1) и (1.2).

Всё как у меня, только буквы разные.

В моих обозначениях символы $e^a$ и $e_a$ они называют базисом системы отсчёта, а символы $\partial_{\mu}$ и $dx^{\mu}$ они называют базисом голономной системы отсчёта.

Спорить не о чем...

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение28.12.2012, 08:09 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
SergeyGubanov в сообщении #664633 писал(а):
Спорить не о чем...

Критерий голономности дифференциальной 1-формы $a(x)$ всё же несколько иной. Необходимо выполнение условия $a(x)\wedge da(x)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерная метрика в разных системах отсчёта
Сообщение28.12.2012, 10:57 


15/02/11
214
SergeyGubanov в сообщении #664522 писал(а):
Про частицу, которая не падает при $r < r_g$ -- нету таких частиц.

То есть преобразования координат у вас для области $0 < r < r_g$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group