Мощность двух отрезков.

[delkov]

ИСН в сообщении #663956 писал(а):

Здесь можно придраться к вопросу, в какие именно точки прямой переходят концевые точки отрезка, но сейчас важнее другое.

-- Ср, 2012-12-26, 13:55 --

А то, что чётных чисел столько же, сколько всех натуральных, и нечётных тоже столько же, а и тех и других вместе - опять столько же, это Вам как? Нормально?

Нормально, их ведь можно занумеровать(сравнить с эталоном $N$).

ewert в сообщении #663958 писал(а):

ewert

Не очень Вас понял, ибо скудны мои познания. взаимно-однозначное соответствие вроде бы должно иметь место с геометрической точки зрения.

[ИСН]

Ну так и точки отрезка можно, эээ, "занумеровать" действительными числами. Смотрите, отрезок равномощен прямой. Значит, два отрезка уж никак не меньше. Но и не больше - ведь они в неё входят. Не меньше и не больше. Что остаётся?

(Оффтоп)

Да, я осознаю, что занимаюсь грубой и циничной манипуляцией. И мне это нравится.

[olenellus]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #663963 писал(а):

Что остаётся?

Ответ на этот вопрос требует знания теоремы с не совсем интуитивно ожидаемым доказательством. Вопрос, знаком ли с этой теоремой вопрошающий. Если нет, то, может, легче через явную биекцию?

[delkov]

ИСН в сообщении #663963 писал(а):

Ну так и точки отрезка можно, эээ, "занумеровать" действительными числами. Смотрите, отрезок равномощен прямой. Значит, два отрезка уж никак не меньше. Но и не больше - ведь они в неё входят. Не меньше и не больше. Что остаётся?

(Оффтоп)

Да, я осознаю, что занимаюсь грубой и циничной манипуляцией. И мне это нравится.

Очевидно равномощность.

olenellus в сообщении #663977 писал(а):

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #663963 писал(а):

Что остаётся?

Ответ на этот вопрос требует знания теоремы с не совсем интуитивно ожидаемым доказательством. Вопрос, знаком ли с этой теоремой вопрошающий. Если нет, то, может, легче через явную биекцию?

Вчера приступил к изучению, посему скуден :(

[ИСН]

Ну вот и всё. Значит, равномощны.
Будут ещё вопросы - обращайтесь.

[delkov]

ИСН в сообщении #664021 писал(а):

Ну вот и всё. Значит, равномощны.
Будут ещё вопросы - обращайтесь.

Большое спасибо :)

[Joker_vD]

Теорема, что из $|A|\leqslant|B|$ и $|B|\leqslant|A|$ следует $A\simeq B$ — нетривиальна. И, кажется, требует аксиому выбора. Так что...

Так что отобразите взаимно-однозначно $(-\infty,0)$ на $(a,b)$, а $(0,+\infty)$ — на $(a',b')$. Получите биекцию между $\mathbb R\mathbin{\diagdown}\{0\}$ и $[a,b]\cup[a',b']\mathbin{\diagdown}\{a,b,a',b'\}$.

Дальше либо забейте на разницу в три точки (раз у вас множества бесконечны), либо аккуратно передоопределите эту биекцию до биекции между $\mathbb R$ и $[a,b]\cup[a',b']$.

[apriv]

Joker_vD в сообщении #664131 писал(а):

Теорема, что из $|A|\leqslant|B|$ и $|B|\leqslant|A|$ следует $A\simeq B$ — нетривиальна. И, кажется, требует аксиому выбора. Так что...

Аксиомы выбора она не требует. Вообще, меня удивляет огромное количество задач вида «установите явную биекцию». В большинстве из них равномощность очевидным образом следует из этой самой теоремы.

[ИСН]

Таких задач ровно столько, сколько нужно. Эта - не из их числа (см. первое сообщение).

[NQD]

ИСН в сообщении #664161 писал(а):

Таких задач ровно столько, сколько нужно. Эта - не из их числа (см. первое сообщение).

Это значит, что между существующими задачами и "сколько нужно" можно установить биекцию? Доказательство в студию, пожалуйста Ну да ладно, с этим всё ясно, неясно другое: почему в условии оговорено, что отрезки не пересекаются?

[ИСН]

Потому что тогда это был бы тупо один отрезок.

[NQD]

А, у нас ведь всё одномерное! Тогда ясно. Хотя это ничего не меняет.