Мощность двух отрезков.

[delkov]

Доброго всем времени суток.
Интересует вопрос, чему равна мощность двух не пересекающихся отрезков прямой ?
Если я верно понял, два множества равномощны если между ними существует биекция.
очевидно, между прямой и любым из двух отрезков это сделать можно. Мощность прямой - континиуум, значит и отрезка континиуум.
Но если у нас два отрезка, то биекции уже не выйдет(или выйдет?), и выходит мощность двух отрезков больше множества прямой(контииуум)?
а множество трех отрезков больше множества 2?
Но что-то мне кажется что они все равномощны.

[ИСН]

Сдаётся мне, Вы под биекцией понимаете что-то своё.
А если это не так, то начну издалека: приведите два разных примера счётных множеств (только само $\mathbb N$ не надо).

[apriv]

Думаю, мощность двух отрезков конечна и равна двум.

[delkov]

ИСН в сообщении #663828 писал(а):

Сдаётся мне, Вы под биекцией понимаете что-то своё.
А если это не так, то начну издалека: приведите два разных примера счётных множеств (только само $\mathbb N$ не надо).

Множество четных и нечетных, к примеру.
Т.к между ними и множеством N можно установить взаимно-однозначное отображение.

[Joker_vD]

apriv
Воистину, сэр, вы математик.

delkov
Скажите, а равномощны ли $(-\infty,0)$ и $(a_1,b_1)$?

[ИСН]

Погодите.

-- Ср, 2012-12-26, 01:16 --

Ну хорошо: чётных и нечётных. А они между собой равномощны? Есть между ними биекция?

-- Ср, 2012-12-26, 01:33 --

И тишина. Убил, что ли?

[delkov]

Joker_vD в сообщении #663831 писал(а):

Joker_vD
Скажите, а равномощны ли и ?

Да. Но геометрически не очень похоже на то(если рассмотреть полуокружность над прямой и кидать лучи от отрезка на полуокружность и ждать отражения на прямую)

ИСН в сообщении #663832 писал(а):

Погодите.

-- Ср, 2012-12-26, 01:16 --

Ну хорошо: чётных и нечётных. А они между собой равномощны? Есть между ними биекция?

Есть.

[Joker_vD]

delkov в сообщении #663843 писал(а):

Но геометрически не очень похоже на то

Возьмите арктангенс и полюбуйтесь на его график.

[delkov]

Joker_vD в сообщении #663844 писал(а):

delkov в сообщении #663843 писал(а):

Но геометрически не очень похоже на то

Возьмите арктангенс и полюбуйтесь на его график.

Убедили, верно.

[ewert]

delkov в сообщении #663824 писал(а):

очевидно, между прямой и любым из двух отрезков это сделать можно.

Это далеко не очевидно (хотя и просто). Вот если разберётесь с этой стандартной задачей -- об установлении биекции между одним отрезком (именно отрезком!) и всей осью -- тогда, наверное, и с двумя проблем не останется.

[NQD]

А арифметика кардинальных чисел считается известной или нет? Если да, то из равномощности прямой и отрезка немедленно (без дополнительных построений) следует все остальное.

[ИСН]

Я к этому и вёл, да как-то не с той стороны начал.
Ну хорошо, delkov, а вот такая картина: возьмём отрезок, который покрывает те оба, как бык овцу. Он равномощен прямой? Вроде должен быть. Но он же "больше" этих двух? Все их точки в него входят? Зна...
Постойте, да не нужно никаких промежуточных построений. Вся прямая же включает в себя те отрезки? Значит, она уж никак их не меньше!

[delkov]

про равномощность отрезка и прямой. Берем отрезок и полуокружность радиуса $r=(b-a)/2$, проецируем параллельно отрезок на окружность. Через центр полуокружности и полученные точки на окружности проводим прямые которые пересут в неокторых точках прямую $R$. т.е биекция есть.
Если по той же схеме взять два отрезка, то получаются разрывы в отображениях.

http://s020.radikal.ru/i716/1212/34/7acf8354f15b.jpg //Не выходит прикрепть, надеюсь так можно.

ИСН в сообщении #663903 писал(а):

Я к этому и вёл, да как-то не с той стороны начал.
Ну хорошо, delkov, а вот такая картина: возьмём отрезок, который покрывает те оба, как бык овцу. Он равномощен прямой? Вроде должен быть. Но он же "больше" этих двух? Все их точки в него входят? Зна...
Постойте, да не нужно никаких промежуточных построений. Вся прямая же включает в себя те отрезки? Значит, она уж никак их не меньше!

Это и поставило меня в тупик, вроде бы должен быть больше этих двух, а выходит что нет.
Т.е если взять за эталон мощности - прямую. Имеем, что каждый из двух отрезков - равномощен прямой. а также что и отрезок покрывающий эти два -также равномощен прямой.

[ИСН]

Здесь можно придраться к вопросу, в какие именно точки прямой переходят концевые точки отрезка, но сейчас важнее другое.

-- Ср, 2012-12-26, 13:55 --

А то, что чётных чисел столько же, сколько всех натуральных, и нечётных тоже столько же, а и тех и других вместе - опять столько же, это Вам как? Нормально?

[ewert]

delkov в сообщении #663954 писал(а):

ерем отрезок и полуокружность радиуса $r=(b-a)/2$,

Таким способом биекцию не получить, т.к. отрезок -- он замкнут, а Ваше отображение -- непрерывно.