2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Мощность двух отрезков.
Сообщение25.12.2012, 23:48 


12/06/11
16
Доброго всем времени суток.
Интересует вопрос, чему равна мощность двух не пересекающихся отрезков прямой ?
Если я верно понял, два множества равномощны если между ними существует биекция.
очевидно, между прямой и любым из двух отрезков это сделать можно. Мощность прямой - континиуум, значит и отрезка континиуум.
Но если у нас два отрезка, то биекции уже не выйдет(или выйдет?), и выходит мощность двух отрезков больше множества прямой(контииуум)?
а множество трех отрезков больше множества 2?
Но что-то мне кажется что они все равномощны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Сдаётся мне, Вы под биекцией понимаете что-то своё.
А если это не так, то начну издалека: приведите два разных примера счётных множеств (только само $\mathbb N$ не надо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 00:13 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Думаю, мощность двух отрезков конечна и равна двум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 00:14 


12/06/11
16
ИСН в сообщении #663828 писал(а):
Сдаётся мне, Вы под биекцией понимаете что-то своё.
А если это не так, то начну издалека: приведите два разных примера счётных множеств (только само $\mathbb N$ не надо).


Множество четных и нечетных, к примеру.
Т.к между ними и множеством N можно установить взаимно-однозначное отображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 00:15 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
apriv
Воистину, сэр, вы математик.

delkov
Скажите, а равномощны ли $(-\infty,0)$ и $(a_1,b_1)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Погодите.

-- Ср, 2012-12-26, 01:16 --

Ну хорошо: чётных и нечётных. А они между собой равномощны? Есть между ними биекция?

-- Ср, 2012-12-26, 01:33 --

И тишина. Убил, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 00:33 


12/06/11
16
Joker_vD в сообщении #663831 писал(а):
Joker_vD
Скажите, а равномощны ли и ?


Да. Но геометрически не очень похоже на то(если рассмотреть полуокружность над прямой и кидать лучи от отрезка на полуокружность и ждать отражения на прямую)



ИСН в сообщении #663832 писал(а):
Погодите.

-- Ср, 2012-12-26, 01:16 --

Ну хорошо: чётных и нечётных. А они между собой равномощны? Есть между ними биекция?


Есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 00:36 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
delkov в сообщении #663843 писал(а):
Но геометрически не очень похоже на то

Возьмите арктангенс и полюбуйтесь на его график.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 00:38 


12/06/11
16
Joker_vD в сообщении #663844 писал(а):
delkov в сообщении #663843 писал(а):
Но геометрически не очень похоже на то

Возьмите арктангенс и полюбуйтесь на его график.

Убедили, верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 01:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
delkov в сообщении #663824 писал(а):
очевидно, между прямой и любым из двух отрезков это сделать можно.

Это далеко не очевидно (хотя и просто). Вот если разберётесь с этой стандартной задачей -- об установлении биекции между одним отрезком (именно отрезком!) и всей осью -- тогда, наверное, и с двумя проблем не останется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 04:24 


14/04/12
60
А арифметика кардинальных чисел считается известной или нет? Если да, то из равномощности прямой и отрезка немедленно (без дополнительных построений) следует все остальное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 09:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я к этому и вёл, да как-то не с той стороны начал.
Ну хорошо, delkov, а вот такая картина: возьмём отрезок, который покрывает те оба, как бык овцу. Он равномощен прямой? Вроде должен быть. Но он же "больше" этих двух? Все их точки в него входят? Зна...
Постойте, да не нужно никаких промежуточных построений. Вся прямая же включает в себя те отрезки? Значит, она уж никак их не меньше!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 12:42 


12/06/11
16
про равномощность отрезка и прямой. Берем отрезок и полуокружность радиуса $r=(b-a)/2$, проецируем параллельно отрезок на окружность. Через центр полуокружности и полученные точки на окружности проводим прямые которые пересут в неокторых точках прямую $R$. т.е биекция есть.
Если по той же схеме взять два отрезка, то получаются разрывы в отображениях.

http://s020.radikal.ru/i716/1212/34/7acf8354f15b.jpg //Не выходит прикрепть, надеюсь так можно.



ИСН в сообщении #663903 писал(а):
Я к этому и вёл, да как-то не с той стороны начал.
Ну хорошо, delkov, а вот такая картина: возьмём отрезок, который покрывает те оба, как бык овцу. Он равномощен прямой? Вроде должен быть. Но он же "больше" этих двух? Все их точки в него входят? Зна...
Постойте, да не нужно никаких промежуточных построений. Вся прямая же включает в себя те отрезки? Значит, она уж никак их не меньше!


Это и поставило меня в тупик, вроде бы должен быть больше этих двух, а выходит что нет.
Т.е если взять за эталон мощности - прямую. Имеем, что каждый из двух отрезков - равномощен прямой. а также что и отрезок покрывающий эти два -также равномощен прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Здесь можно придраться к вопросу, в какие именно точки прямой переходят концевые точки отрезка, но сейчас важнее другое.

-- Ср, 2012-12-26, 13:55 --

А то, что чётных чисел столько же, сколько всех натуральных, и нечётных тоже столько же, а и тех и других вместе - опять столько же, это Вам как? Нормально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 13:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
delkov в сообщении #663954 писал(а):
ерем отрезок и полуокружность радиуса $r=(b-a)/2$,

Таким способом биекцию не получить, т.к. отрезок -- он замкнут, а Ваше отображение -- непрерывно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group