Гармоническая функция.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Вот такая задача : могут ли пересекаться линии уровня гармонической функции в области ее гармоничности ? Сначала вспомнил определения гармонической функции и линии уровня. В общем доказать, что не могу не получается и пример не выходит, когда пересекаются.

[Someone]

Среди многочленов второй степени от двух переменных поищите.

[3.14]

Я правильно понимаю линию уровню ? Например, для нашей $u(x,y)$ линия уровня выглядит так : $ L = \lbrace (x,y) \in \mathbb R^2 \lvert u(x,y) = c = const \rbrace$. Если я правильно посчитал, то среди многочленов второй степени от двух переменных гармоническими функциями будут : $u(x,y) = a_1 (x^2 - y^2) + a_2 xy + a_3 x + a_4 y + a_5$. Что-то пока не получается найти нужную нам гармоническую функцию. )

[Someone]

Дык, возьмите что попроще, чтобы сразу было видно, какие там линии уровня.

[Vince Diesel]

По определению, для разных $c$ это непересекающиеся множества

[Someone]

А, похоже, я не так понял задачу.
Так ведь (непрерывная) функция не может в одной точке принимать два разных значения. Разрывная тоже не может, но у неё "линии" уровня уж очень чудно могут быть устроены. А гармоническая функция, слава Богу, непрерывна.

[3.14]

Someone в сообщении #658883 писал(а):

Среди многочленов второй степени от двух переменных поищите.

Someone в сообщении #658905 писал(а):

А, похоже, я не так понял задачу.
Так ведь (непрерывная) функция не может в одной точке принимать два разных значения. Разрывная тоже не может, но у неё "линии" уровня уж очень чудно могут быть устроены. А гармоническая функция, слава Богу, непрерывна.

Что-то я запутался) В принципе, я думал, что я тоже не понял задачу..Ведь, действительно, гармоническая функция непрерывна и два значения это нехорошо..Просто странное задание какое-то )

[Someone]

Я имел в виду, что у гармонической функции $u=xy$ линия уровня $u=0$ представляет собой две пересекающиеся прямые. Но ведь это одна линия уровня, а не две.

[3.14]

Тема снова актуальна) Я до сих пор не знаю как решать данную задачу. Может подкините еще какие-нибудь идеи ? )

[TOTAL]

3.14 в сообщении #662406 писал(а):

Тема снова актуальна) Я до сих пор не знаю как решать данную задачу. Может подкините еще какие-нибудь идеи ? )

Объясните, что понимаете под пересечением линий уровня. Как идея?

[gris]

Не имеется ли в виду невозможность замкнутости линии уровня внутри области гармоничности?

[g______d]

gris в сообщении #662416 писал(а):

Не имеется ли в виду невозможность замкнутости линии уровня внутри области гармоничности?

Если линия стягивается в точку внутри области гармоничности.

[3.14]

Я сам не могу понять, что имеется в виду под пересечением..Если это обычное пересечение в токе, то тогда непонятен смысл задания.

gris в сообщении #662416 писал(а):

Не имеется ли в виду невозможность замкнутости линии уровня внутри области гармоничности?

Интересно..Можете пояснить ? )

[gris]

Ну с учётом справедливого замечания g______d
линия уровня не может быть замкнутой кривой в односвязной области гармоничности. Не уверен, что на линию не должны накладываться какие-то ограничения. Соображения такие: Функция непостоянна, иначе линия уровня не линия. Значит, как непрерывная функция она достигает экстремума внутри области, ограниченной линией уровня. Ну а гармоническая функция себя так не ведёт.

[3.14]

gris в сообщении #662461 писал(а):

Ну а гармоническая функция себя так не ведёт.

Я уже не помню свойств гармонических функций. Она не принимает своих максимальных и минимальных значений в области гармоничности ?

-- 27 дек 2012, 03:23 --

А все..Есть такой принцип максимума.