2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Гармоническая функция.
Сообщение15.12.2012, 22:34 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуйте, участники форума. Вот такая задача : могут ли пересекаться линии уровня гармонической функции в области ее гармоничности ? Сначала вспомнил определения гармонической функции и линии уровня. В общем доказать, что не могу не получается и пример не выходит, когда пересекаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение15.12.2012, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
Среди многочленов второй степени от двух переменных поищите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение15.12.2012, 23:28 


26/08/09
197
Асгард
Я правильно понимаю линию уровню ? Например, для нашей $u(x,y)$ линия уровня выглядит так : $ L = \lbrace (x,y) \in \mathbb R^2 \lvert u(x,y) = c = const  \rbrace$. Если я правильно посчитал, то среди многочленов второй степени от двух переменных гармоническими функциями будут : $u(x,y) = a_1 (x^2 - y^2) + a_2 xy + a_3 x + a_4 y + a_5$. Что-то пока не получается найти нужную нам гармоническую функцию. )

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение15.12.2012, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
Дык, возьмите что попроще, чтобы сразу было видно, какие там линии уровня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение15.12.2012, 23:33 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
По определению, для разных $c$ это непересекающиеся множества :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение15.12.2012, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
А, похоже, я не так понял задачу.
Так ведь (непрерывная) функция не может в одной точке принимать два разных значения. Разрывная тоже не может, но у неё "линии" уровня уж очень чудно могут быть устроены. А гармоническая функция, слава Богу, непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение15.12.2012, 23:48 


26/08/09
197
Асгард
Someone в сообщении #658883 писал(а):
Среди многочленов второй степени от двух переменных поищите.

Someone в сообщении #658905 писал(а):
А, похоже, я не так понял задачу.
Так ведь (непрерывная) функция не может в одной точке принимать два разных значения. Разрывная тоже не может, но у неё "линии" уровня уж очень чудно могут быть устроены. А гармоническая функция, слава Богу, непрерывна.

Что-то я запутался) В принципе, я думал, что я тоже не понял задачу..Ведь, действительно, гармоническая функция непрерывна и два значения это нехорошо..Просто странное задание какое-то )

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение16.12.2012, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
Я имел в виду, что у гармонической функции $u=xy$ линия уровня $u=0$ представляет собой две пересекающиеся прямые. Но ведь это одна линия уровня, а не две.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение23.12.2012, 16:31 


26/08/09
197
Асгард
Тема снова актуальна) Я до сих пор не знаю как решать данную задачу. Может подкините еще какие-нибудь идеи ? )

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение23.12.2012, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
3.14 в сообщении #662406 писал(а):
Тема снова актуальна) Я до сих пор не знаю как решать данную задачу. Может подкините еще какие-нибудь идеи ? )
Объясните, что понимаете под пересечением линий уровня. Как идея?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение23.12.2012, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Не имеется ли в виду невозможность замкнутости линии уровня внутри области гармоничности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение23.12.2012, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
gris в сообщении #662416 писал(а):
Не имеется ли в виду невозможность замкнутости линии уровня внутри области гармоничности?


Если линия стягивается в точку внутри области гармоничности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение23.12.2012, 18:02 


26/08/09
197
Асгард
Я сам не могу понять, что имеется в виду под пересечением..Если это обычное пересечение в токе, то тогда непонятен смысл задания.
gris в сообщении #662416 писал(а):
Не имеется ли в виду невозможность замкнутости линии уровня внутри области гармоничности?

Интересно..Можете пояснить ? )

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение23.12.2012, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Ну с учётом справедливого замечания g______d
линия уровня не может быть замкнутой кривой в односвязной области гармоничности. Не уверен, что на линию не должны накладываться какие-то ограничения. Соображения такие: Функция непостоянна, иначе линия уровня не линия. Значит, как непрерывная функция она достигает экстремума внутри области, ограниченной линией уровня. Ну а гармоническая функция себя так не ведёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармоническая функция.
Сообщение26.12.2012, 23:19 


26/08/09
197
Асгард
gris в сообщении #662461 писал(а):
Ну а гармоническая функция себя так не ведёт.

Я уже не помню свойств гармонических функций. Она не принимает своих максимальных и минимальных значений в области гармоничности ?

-- 27 дек 2012, 03:23 --

А все..Есть такой принцип максимума.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group