Гармоническая функция.

[gris]

Я на память не скажу все требования к множеству, но для ограниченной области гармоническая функция не может выскочить за свои экстремумы на границе.
Называется это дело принципом максимума.

[g______d]

Если функция непрерывна вплоть до границы, то вроде бы вообще ничего больше не нужно требовать.

[gris]

Я всегда представляю себе рамку в виде графика границы, которую опускают в мыльный раствор. Можно чисто наглядно увидеть этот принцип и даже больше.
На практике области всегда хорошие, а вдруг в многомерном случае можно придумать что-то такое чудовищное, что и не приснится даже.