Компактное множество.

[chem_victory]

Здравствуйте, помогите разобраться.
Не могу додуматься, почему множество является компактным при условии:
1.Ограничено.
2.Замкнуто.

Почему недостаточно 1?
Что я разумею под компактным множеством:
множество, из любого открытого покрытия которого можно выделить конечное подпокрытие.
Под ограниченом - можно задать некий шар конечного радиуса в данном пространстве.
Замкнуто - содержит все предельные точки. (т.е шар без поверхности - открытое множество, с ее учетом - замкнутое множество).

В этой связи неясно, почему скажем отрезок прямой компактен, в отличии от интервала.

[gris]

Потому, что контрпример.
Интервалы $\{(1/n,\,2)\}, \,n\in \mathbb N$ очень хорошо покрывают интервал $(0,1)$, но попробуйте выделить из множества интервалов конечное подпокрытие.

(Я надеюсь, что мы говорим об евклидовом пространстве, а то можно целую дискуссию развести.)

[chem_victory]

gris в сообщении #664204 писал(а):

Потому, что контрпример.
Интервалы $\{(1/n,\,2)\}, \,n\in \mathbb N$ очень хорошо покрывают интервал $(0,1)$, но попробуйте выделить из множества интервалов конечное подпокрытие.

Почему нельзя взять левый интервал скажем, -1? и накрыть сразу одним отрезком? это ведь не запрещено по определению* могу ошибаться, конечно же.

[gris]

Так и хочется процитировать недавние слова ИСН о том, что покрыть можно что угодно, хоть и самим этим множеством, но говорится же, что из любого покрытия можно выделить конечное. Из Вашего можно, а из моего попробуйте.

[chem_victory]

gris в сообщении #664209 писал(а):

Так и хочется процитировать недавние слова ИСН о том, что покрыть можно что угодно, хоть и самим этим множеством, но говорится же, что из любого покрытия можно выделить конечное. Из Вашего можно, а из моего попробуйте.

Ах да, кажется понял. Благодарю.