Волновые уравнения в ОТО и коррекция решения Шварцшильда

[SergeyGubanov]

SergeyGubanov в сообщении #662430 писал(а):

Возможно у Вас есть какой-то математический термин со словом "глобально"? Какое-то математическое определение (о которых не спорят)? И из-за этого Вы, как математик, вынуждены утверждать, что следующая метрика не глобальна?

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr \pm c \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Someone, до меня кажется дошло. Возможно Вы имели в виду вовсе не глобальность системы координат, а (геодезическую) неполноту пространства?

Пространство (геодезически) неполное, но система координат глобальная. Так?

[SergeyGubanov]

Про организацию геодезически полного пространства чёрной и белой дыры завёл отдельную ветку topic66568.html

[Lvov]

Цитата:

SergeyGubanov:
Пространственное сечение $t = \operatorname{const}$ здесь обычнейшее евклидовое пространство. В этом евклидовом пространстве введена обычнейшая сферическая система координат

$$d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Someone:
Да ничего подобного, другая там пространственная метрика. Загляните в ЛЛ2, § 84, и вычислите по формулам (84,6) и (84,7), какая там пространственная метрика.
Это враки, что пространственная метрика здесь плоская. Откройте ЛЛ2, § 84, найдите там формулы (84,6) и (84,7), посчитайте пространственную метрику. Вы удивитесь.

SergeyGubanov:
Вы посылаете в ЛЛ2 в параграф 84 "Расстояния и промежутки времени". Это истина. А по делу? Нет, не по делу. В параграфе 84 описана схема построения трёхмерной метрики в системе отсчёта неподвижной относительно используемой системы координат. В другой системе отсчёта трёхмерная метрика будет другой. В данном случае, трёхмерное пространство будет евклидовым в системе отсчёта связанной с наблюдателями движущимися со скоростью $dr/dt = \pm c \sqrt{r_g / r}$ (минус для чёрной, плюс для "белой" дыры).

Парируя сообщение г. Someone, Сергей ошибается. Метрика (4) отвечает плоскому пространству в своей стационарной неподвижной СО.
Обратимся к упомянутым формулам из Л-Л § 84. Подсчет пространственной метрики по этим формулам приводит к пространственной части метрики Шварцшильда, т.е. к искривленному пространству.
Все дело в том, что при выводе указанных формул допущена ошибка при указании средней скорости светового луча ($v_{cp}=c$) при прямом и обратном радиальном его движении. На самом деле в нашем случае указанное значение $v_{cp}=c$ верно лишь для тангенциальных составляющих скорости света. При прохождении же двух одинаковых радиальных интервалов $dr_1=-dr_2$ средняя скорость вычисляется по формуле $v_{cp}=v_1v_2/(v_1+v_2)$, и в нашем случае (см. ф.(8) вводного сообщения) при
$v_1= {c\,}(1+\sqrt{r_g/r})$ и $v_2= {c\,}(1-\sqrt{r_g/r})$ имеем $v_{cp}=c(1-r_g/r)$.
В результате дальнейших выкладок, аналогичных проделываемым в § 84 Л-Л, получаем конечную формулу для радиального коэффициента

$$\gamma_{11}=(1-r_g/r)\,(-g_{11}+\frac{g_{01}\,g_{01}}{g_{00}})$$

. Формулы же для тангенциальных коэффициентов $\gamma_{22}$ и $\gamma_{33}$ остаются без изменения.
Расчеты по указанным формулам показывают, что метрика $\gamma_{\alpha\beta}$ не отличается от пространственной части метрики (4), которая отвечает плоскому евклидову пространству.

С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

m_еugene:
чем по существу Ваш вариант отличается от
"В чем прав eugeni" ?
http://www.astronomy.ru/forum/index.php ... #msg595696
помнится, он там лихо провёл расчёт опыта Паунда-Ребки, что для Вас затруднительно.
Нужно ли повторять то, что уже сделано другим, меняя лишь математическое обрамление?

Е. Грибановским прорабатывалась идея падающего пространства, или по его словам "падающей системы координат". Соответствующей метрики он не нашел Эта метрика была указана не точно мною и подправлена С.Хартиковым. Впрочем и Грибановский и Хартиков не видели в ней ничего нового по сравнению с метрикой Шварцшильда. Я же, используя волновые уравнения, продолжил ее исследование, и вскоре понял, что метрика, отвечающая разлетающемуся с той же радиальной зависимостью пространству также удовлетворяет уравнениям тяготения Эйнштейна.
Впрочем, если говорить о приоритете, то надо вспомнить, что рассматриваемая метрика для одного знака скорости движения пространства впервые была указана французским ученым Пенлеве еще в 1921 г.
Суть опыта Паунда-Ребки я не помню. Напомните, пожалуйста, указав источник.

С уважением О.Львов

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #663207 писал(а):

Парируя сообщение г. Someone, Сергей ошибается. Метрика (4) отвечает плоскому пространству в своей стационарной неподвижной СО.

Да нет же, не в стационарной, а в падающей.

Для обсуждения этого вопроса сейчас создал отдельую тему: topic66658.html

[Lvov]

Цитата:

Lvov:
Метрика (4) отвечает плоскому пространству в своей стационарной неподвижной СО.
SergeyGubanov
В настоящей теме: "Да нет же, не в стационарной, а в падающей".
Во вновь открытой теме topic66658.html: "А в стационарной системе отсчёта трёхмерная метрика будет "шварцшильдовской"".

Я не буду останавливаться на вопросе о метрике нестационарного падающего пространства, поскольку для нас в первую очередь представляет интерес пространственная метрика рассматриваемого нами стационарного центрального поля тяготения с метрикой 4-пространства (4).
В сообщении 663207 я показал, что вычисляемая по подправленным формулам (84.7) из Л-Л метрика рассматриваемого 3-пространства повторяет пространственную часть метрики (4), и отвечает плоскому евклидову пространству.

В этом же сообщении я хочу показать, что сама постановка вопроса при выводе формул (84.7), применительно к стационарному или статическому гравитационному полю, некорректна. Вот как в Л-Л ставится данный вопрос:
"В специальной теории относительности можно определять $dl$ как интервал между двумя бесконечно близкими событиями, происходящими в один и тот же момент времени. В общей теории относительности этого, вообще говоря, уже нельзя сделать, т. е. нельзя определить $dl$, просто положив $dx^0 = 0$ в $ds$. Это связано с тем, что в гравитационном поле собственное время в разных точках пространства различным образом связано с координатой $x^0$".
Но в стационарном поле метрика вообще не зависит от времени, и пространственные интервалы остаются постоянными, даже если мы рассматриваем соседние пространственные точки в разные моменты времени $t$, отвечающие единому $x^0 (dx^0 = 0)$. Поэтому в нашем случае мы можем считать пространственные интервалы метрики 4-пространства, которые отвечают евклидову пространству, интервалами 3-мерного пространственного сечения в единый момент собственного времени.

С уважением О.Львов

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #663758 писал(а):

Но в стационарном поле метрика вообще не зависит от времени, и пространственные интервалы остаются постоянными, даже если мы рассматриваем соседние пространственные точки в разные моменты времени $t$, отвечающие единому $x^0 (dx^0 = 0)$.

Вы правы только если $g^{0 i} = 0$. При наличии ненулевых компонент $g^{0 i} \ne 0$ Вы не учли то что называется "относительность одновременности". Для наблюдателей неподвижных относительно такой системы координат 3-пространство нельзя получить вот так просто $dx^0 = 0$.

[Lvov]

Прошу прощения. В сообщении 663207 я допустил описку в формуле для средней скорости света, упустив множитель 2. Однако эта ошибка не сказалась на конечном результате, поскольку в черновых выкладках, все делалось правильно. Итак, верная формула имеет вид: $v_{cp}=2\,v_1v_2/(v_1+v_2)$

С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

SergeyGubanov :
"А в стационарной системе отсчёта трёхмерная метрика будет "шварцшильдовской"".
Вы правы только если $g^{0 i} = 0$. При наличии ненулевых компонент $g^{0 i} \ne 0$ Вы не учли то что называется "относительность одновременности". Для наблюдателей неподвижных относительно такой системы координат 3-пространство нельзя получить вот так просто $dx^0 = 0$.

Сергей, я не понимаю при чем здесь относительность одновременности. Я подчеркиваю, что одновременно или не одновременно мы рассматриваем метрику стационарного пространства в разных его точках, эта метрика остается прежней. Поэтому при получении метрики 3-пространства можно считать считать $dx^0 = 0$. Еще непонятно почему Вы упоминаете контравариантные компоненты $g^{0 i}$.

В своем сообщении p663916 Вы пытаетесь опровергнуть справедливость моего доказательства в p663758 необязательности использования формул Л-Л (84.7) в стационарном случае. Но в другом сообщении p663207 я показываю, что в нашем случае формула (84.7) должна иметь несколько иной вид, который дает метрику, отвечающую пространственной части метрики 4-пространства (4). Что Вы скажите по поводу моего доказательства в сообщении p663207?

И еще одно замечание. Вы говорите, что метрика 3-пространства будет "шварцшильдовской". Но в РШ метрика пространства определена лишь для $r>r_g$. По моему Вы не отрицаете, что в рассматриваемом случае (4) метрика определена для любых $r>0$?

С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

Lvov:
Анализируя метрики (4), можно понять, что они описывают плоское 3-пространство неинерциального типа. А именно, рассматриваемые метрики отвечают центронаправленному и обратному движению эфира с переменной скоростью $v_e=c\sqrt{r_g/r}$, отвечающей по модулю классической скорости падения свободного тела из бесконечности на тяготеющий объект.
...Вероятно, мы живем в расширяющейся вселенной, о чем свидетельствует эффект Хаббла. При этом расчетное значение постоянной Хаббла, исходя из средней массы и плотности распределения галактик, принимаемых за сингулярные центры рождения эфира, примерно совпадает с расчетным значением, получаемым из формул для расширяющейся вселенной, найденных А.А.Фридманом.

SergeyGubanov:
Сухой остаток в том, что существуют два решения: ... Значит могут существовать два типа чёрных дыр.

В настоящем сообщении я намерен подробнее остановиться на цитированных выше вопросах из первых двух сообщений темы, касающихся двух знаков скорости движения пространства в районе тяготеющих масс. А именно, я считаю, что эта особенность связана не с двумя видами материи (или "черных дыр", по предположению Сергея), а отражает лишь особенности расширяющейся и, соответственно, сжимающейся вселенных.
В Л-Л (Т2, пар. 112) приводится формула, связывающая плотность распределения энергии в замкнутой вселенной со скоростью ее расширения (сжатия) и радиусом (112.5).

$\frac {8\pi\, k} {c^4}\,\varepsilon\, =\,\frac {3}{a^4}\,(a’^2\, +\, a^2)$,
где
$a$ - радиус вселенной,
$a’$ - производная по обобщенному времени $\eta$, связанному с реальным временем соотношением $c\,dt = a\,d\eta$.

Переходя к производной от $a$ по $t$, и несколько преобразуя приведенную формулу, получаем следующее выражение для относительной скорости изменения радиуса (или любого пространственного интервала) закрытой вселенной со временем:

$\frac {da / dt} {a}\, =\, \pm \sqrt {\frac {8\pi\, k\varepsilon} {3c^2}\, -\, \frac {c^2} {a^2} }.\, \, \, $ (1)

Обратимся далее к вопросу расширения вселенной за счет разлетания пространства в области тяготеющих тел согласно метрике (4). При этом считаем, что материя по-прежнему выступает в виде пылевидной субстанции, причем роль отдельных пылинок играют галактики, распределенные примерно с одинаковой плотностью в пределах вселенной. Если обозначить среднюю массу галактики $m$ и среднее расстояние между галактиками $R$, то можно получить следующую формулу, связывающую плотность энергии во вселенной с указанными показателями
$\varepsilon /c^2 = 3m/(4\pi R^3).\, \, \, $ (2)
Относительная скорость расширения вселенной равна скорости разлетания пространства на границе двух галактик, отнесенная к расстоянию между ними

$\frac {dR/dt} {R} = c \sqrt {\frac {r_g} {R} }/R\, =\, \sqrt {\frac {2km}{R}}/R.\, \, \, $ (3)

Подставляя в (3) значение массы галактики, выражаемое через плотность энергии во вселенной из формулы (2), получаем окончательно

$\frac {dR/dt} {R} = \sqrt {\frac {8\pi\, k\varepsilon} {3c^2} }.\, \, \, $(5)

Полученное выражение (5) с точностью до члена $c^2 / a^2$ в подрадикальном выражении совпадает с фридмановской формулой расширения вселенной (1). Отсутствующий у нас член, по-видимому, связан с упрощенным решением задачи, не учитывающим базовые уравнения ОТО, приводящие к кривизне пространства вселенной. Заметим, что в случае нашей вселенной влияние последнего члена в формуле (1) пренебрежимо мало.
Действительно, учитывая принятые данные для плотности массы во вселенной $\varepsilon/c^2=~3 \cdot10^{-31}$ г/см3 и ее размеров ~$13 \cdot10^9$ световых лет = $1,2 \cdot10^{28}$ см, получаем величину отношения второго и первого членов в подрадикальном выражении формулы (1) ~$2,5 \cdot 10^{-6}$.

В случае сжимающейся вселенной приведенные соотношения остаются в силе при учете противоположного знака скорости относительного изменения размеров вселенной.

Уважаемые участники форума, поздравляю с Новым Годом! С уважением О.Львов

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #662701 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #662430 писал(а):

Возможно у Вас есть какой-то математический термин со словом "глобально"? Какое-то математическое определение (о которых не спорят)? И из-за этого Вы, как математик, вынуждены утверждать, что следующая метрика не глобальна?

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr \pm c \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Someone, до меня кажется дошло. Возможно Вы имели в виду вовсе не глобальность системы координат, а (геодезическую) неполноту пространства?

Пространство (геодезически) неполное, но система координат глобальная. Так?

Нет. Глобальная система координат - та, которая охватывает всё пространство-время.
А то, что в какой-то карте есть пространственное сечение с евклидовой метрикой, которое охватывает всё координатное пространство $\mathbb R^3$, ничего не значит. Можем для примера взять метрику Риндлера

$$ds^2=z^2c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.$$

Она явно "глобальная" в Вашем смысле, но вовсе не охватывает всё пространство-время.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #666386 писал(а):

Можем для примера взять метрику Риндлера

$$ds^2=z^2c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.$$

Она явно "глобальная" в Вашем смысле, но вовсе не охватывает всё пространство-время.

С Новым Годом!

Пример не удачный. Здесь

$$g^{00} = \frac{1}{z^2}$$

Поэтому глобальности нет.


Надо так:

1) Для начала, ноль-ноль компонента обратного метрического тензора должна быть равна единице:

$$g^{00} = 1$$

Это условие фиксирует выбор $x^0 = c \, t$.

2) Переходим в свободно падающую систему отсчёта:

$$\frac{1}{c}\frac{dx^i}{dt} = g^{0 i}$$

(с учётом $g^{00} = 1$ это как раз и будут нужные времениподобные геодезические).

3) В этой системе отсчёта вычисляем трёхмерную метрику трёхмерного пространства. Далее как-то догадываемся покрывают ли трёхмерные координаты $x^i = \{ x^1, x^2, x^3 \}$ всё это трёхмерное пространство или же перед нами лишь его часть.

В книге

Бурланков Д. Е. Время, пространство, тяготение. - М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. - 420 с. ISBN 5-93972-465-5

в главе 8 параграф 7 подпараграф 2, страница 200, рассмотрена динамика однородного пространства Бъянки 9 общего вида с однородным электромагнитным полем, получено нетривиальное решение как раз такого толка. Поле скоростей $g^{0 i} \ne 0$ там не может быть устранено всюду.

[Someone]

Извините, но в Вашей "глобальной" метрике, процитированной в моём предыдущем сообщении, тоже $g^{00}\neq 1$.

Кстати, если времениподобные геодезические за конечное собственное время покидают карту, то это и означает, что карта не покрывает всё пространство-время, и потому никак не является глобальной. А в Вашей метрике именно так и происходит.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #667380 писал(а):

Извините, но в Вашей "глобальной" метрике, процитированной в моём предыдущем сообщении, тоже $g^{00}\neq 1$.

В моей $g^{00} = 1$.

Самый общий вид системы координат в которой $g^{00} = 1$ такой:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right)$$

Связь трёхмерных величин $\gamma_{i j}$, $V^i$ с четырёхмерным $g_{\mu \nu}$ такова:

$$g_{0 0} = 1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} V^i V^j, \qquad g^{0 0} = 1$$

$$g_{0 i} = \frac{1}{c} \gamma_{i j} V^j, \qquad g^{0 i} = \frac{1}{c} V^i$$

$$g_{i j} = - \gamma_{i j}, \qquad g^{i j} = \frac{1}{c^2} V^i V^j - \gamma^{i j}$$

$$\sqrt{-g} = \sqrt{\gamma}$$

В системе отсчёта движущейся по закону ${\frac{dx}{dt}}^i = V^i$ метрика трёхмерного пространства есть $\gamma_{i j}$.

Обратите внимание на количество независимых компонент метрического тензора $g_{\mu \nu}$. Независимых компонент не десять, а девять. А именно шесть компонент $\gamma_{i j}$ плюс три компоненты $V^i$.

Someone в сообщении #667380 писал(а):

Кстати, если времениподобные геодезические за конечное собственное время покидают карту, то это и означает, что карта не покрывает всё пространство-время, и потому никак не является глобальной. А в Вашей метрике именно так и происходит.

Так частица упавшая в центр чёрной дыры $r=0$ сидит там до бесконечности, то есть карту не покидает, разьве нет?