Неужели ваша формула дает такую точность. По-моему, данная формула этих интервалов даже не заметит.
Я уж не спрашиваю, как это будет при

или более.
При подсчете числа близнецов через интеграл на интервале от 2 до 11 по сравнению с интервалом от 3 до 11 ошибка равна 1,68, если считать с недостатком, то вместо 2 близнецов будет 3. При k>2 количество кортежей на том же интервале меньше, поэтому относительная ошибка еще больше. При очень больших x ошибка уже не так существенна.
Цитата:
При

ваш интеграл сходится к какому-то пределу.
Нет он расходится.
Продолжение
В сообщении данной темы от 21.12.2012 выведена формула асимптотической плотности k-кортежей в натуральном ряде (7):

Поэтому количество k-кортежей на интервале
![$[k+1,\infty]$ $[k+1,\infty]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/b/34b06a509b5325ff034810ed828b698382.png)
определяется, как сумма ряда (см. работу Дон Цагир Первые 50 миллионов простых чисел):

Утверждение 3
Количество простых k-кортежей в натуральном ряде бесконечно.
Доказательство
Определим сходимость ряда (10).
Так как функция

является монотонно-убывающей, то на основании интегрального признака сходимости Коши ряд (10) будет расходиться, если расходится интеграл:

В силу убывания функции

получаем оценку:

Перейдем к пределу:

Найдем предел по Лопиталю:

Поэтому, на основании интегрального признака Коши, ряд (10) расходится, т.е равен бесконечности. ч.т.д.
Цитата:
Следствие
Полученная в утверждении 2 функция плотности простых K- кортежей в натуральном ряде полностью удолетворяет условиям утверждения 5 темы "Плотность числовой последовательности", поэтому на основании этого утверждения асимптотическое количество простых k-кортежей в натуральном ряде равно:

В силу данного следствия, бесконечнось количества k-кортежей можно доказать напрямую из формулы (9), доказывая аналогично, что данный интеграл расходится.
Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.