Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #662307 писал(а):

Я имею в виду формулу:
асимптотическое количество простых k-кортежей в натуральном ряде равно:

$$\pi_k(x)\sim C_k\int_{k+1}^{\infty}{\frac {dt} {ln^k(t)}}.(9)$$

1) Мне не понятен нижний предел интегрирования,

Если k=1, то нижний предел 2 и разговор идет о количестве простых чисел.
Если k=2, то нижний предел 3 и разговор идет о количестве простых близнецов, так как первые простые близнецы:3,5 и меньше 3 простых близнецов нет, т.к а разговор идет хотя бы о двух простых числах.
Аналочично для кортежа из k простых чисел - нижний предел интегрирования равен K+1.

Цитата:

2) Если $\pi_k(x)$ - число групп из К чисел в интервале не превышающем $x$,
то почему интеграл несобственный.

Спасибо. Это описка. Правильно будет -

$$\pi_k(x)\sim C_k\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k(t)}}.(9)$$

[vorvalm]

Какое отношение имеет число К к пределу интегрирования?

И еще. Словосочетания "в ряду" и "в ряде" применяются при
ответе на вопросы: "где? - в восьмом ряду", " когда? - в ряде случаев"

[vicvolf]

Мы рассматриваем сейчас распределение простых чисел, простых близнецов (где?) в натуральном ряде (ряду). Можно так и так. Так вот, когда мы рассматриваем асимптотическое количество простых чисел в натуральном ряде, то нижний предел ставим -2. А почему у Вас не вызывает вопрос, а почему не с 1, ведь натуральный ряд начинается с 1?
Да потому, что тогда интеграл от 1 до 2 будет не равен 0, хотя простых там нет. Для близнецов, если брать интеграл от 2 до 3, то он тоже будет не равен 0, хотя близнецов там нет и.т.д для других кортежей. Я вернусь к этому вопросу в следующем сообщении.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #661397 писал(а):

Следствие
Полученная в утверждении 2 функция плотности простых K- кортежей в натуральном ряде полностью удолетворяет условиям утверждения 5 темы "Плотность числовой последовательности", поэтому на основании этого утверждения асимптотическое количество простых k-кортежей в натуральном ряде равно:

$$\pi_k(x)\sim C_k\int_{k+1}^{\infty}{\frac {dt} {ln^k(t)}}.(9)$$

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

Из текста этого сообщения не видно, что вы рассматриваете только простые числа и близнецы.
Формула говорит сама за себя. Да ладно.
Неужели ваша формула дает такую точность. По-моему, данная формула этих интервалов даже не заметит.
Я уж не спрашиваю, как это будет при $k=3$ или более.
И еще вопрос.
При $x\rightarrow\infty$ ваш интеграл сходится к какому-то пределу.
Что бы это значило?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #662840 писал(а):

Неужели ваша формула дает такую точность. По-моему, данная формула этих интервалов даже не заметит.
Я уж не спрашиваю, как это будет при $k=3$ или более.

При подсчете числа близнецов через интеграл на интервале от 2 до 11 по сравнению с интервалом от 3 до 11 ошибка равна 1,68, если считать с недостатком, то вместо 2 близнецов будет 3. При k>2 количество кортежей на том же интервале меньше, поэтому относительная ошибка еще больше. При очень больших x ошибка уже не так существенна.

Цитата:

При $x\rightarrow\infty$ ваш интеграл сходится к какому-то пределу.

Нет он расходится.

Продолжение
В сообщении данной темы от 21.12.2012 выведена формула асимптотической плотности k-кортежей в натуральном ряде (7):

$$P_{k}(x) \sim C_{k}/ \ln^k x.$$

Поэтому количество k-кортежей на интервале $[k+1,\infty]$ определяется, как сумма ряда (см. работу Дон Цагир Первые 50 миллионов простых чисел):
$N_k(\infty)=C_k\sum_{n=k+1}^{\infty}{1/ln^k n}.(10)$
Утверждение 3
Количество простых k-кортежей в натуральном ряде бесконечно.
Доказательство
Определим сходимость ряда (10).
Так как функция $1/ln^k x$ является монотонно-убывающей, то на основании интегрального признака сходимости Коши ряд (10) будет расходиться, если расходится интеграл:
$\int_{k+1}^{\infty}{\frac {dt} {ln^k(t)}}.(11)$
В силу убывания функции $1/ln^k (x)$ получаем оценку:
$\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k(t)}}>\frac {x-k-1} {ln^k(x)}.$
Перейдем к пределу:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k(t)} }\geq \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-k-1} {ln^k(x)}}.$
Найдем предел по Лопиталю:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x-k-1} {ln^k(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} \frac {x} {kln^k(x)} }=...=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {x} {k!} }=\infty.(12)$
Поэтому, на основании интегрального признака Коши, ряд (10) расходится, т.е равен бесконечности. ч.т.д.

Цитата:

Следствие
Полученная в утверждении 2 функция плотности простых K- кортежей в натуральном ряде полностью удолетворяет условиям утверждения 5 темы "Плотность числовой последовательности", поэтому на основании этого утверждения асимптотическое количество простых k-кортежей в натуральном ряде равно:

$$\pi_k(x)\sim C_k\int_{k+1}^{\infty}{\frac {dt} {ln^k(t)}}.(9)$$

В силу данного следствия, бесконечнось количества k-кортежей можно доказать напрямую из формулы (9), доказывая аналогично, что данный интеграл расходится.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #662737 писал(а):

Мы рассматриваем сейчас распределение простых чисел, простых близнецов (где?) в натуральном ряде (ряду). Можно так и так. Так вот, когда мы рассматриваем асимптотическое количество простых чисел в натуральном ряде, то нижний предел ставим -2. А почему у Вас не вызывает вопрос, а почему не с 1, ведь натуральный ряд начинается с 1?
Да потому, что тогда интеграл от 1 до 2 будет не равен 0, хотя простых там нет. Для близнецов, если брать интеграл от 2 до 3, то он тоже будет не равен 0, хотя близнецов там нет и.т.д для других кортежей. Я вернусь к этому вопросу в следующем сообщении.

Я имел в виду вот эти интервалы. При $k=3$ интервал будет ($4,x$). Каким должен быть $x$, чтобы "поймать" одну группу из 3-х чисел? Из 10-ти чисел? и т.д.
Ведь такие группы могут иметь разную структуру по разностям.
Для примера, можно ли рассчитать число групп c $k=6$ (4,2,4,2,4) при $x=15015$.

[vicvolf]

Если сравнить на малых интервалах количество кортежей (2,4) то на интервале от 2 до 11 значение интеграла 7,8856, а от 4 до 11 - 2,7044 (реальное 1). На интервале от 2 до 17 значение интеграла - 8,7499, а на интервале от 4 до 11 - 3,5686 (реальное -2). На интервале от 2 до 23 значение интеграла - 9,3326, а на интервале от 4 до 23 - 4,1513 (реальное -3).
На больших интервалах для кортежей (2,4) реальные данные при $x=10^5$ число таких кортежей составляет 259 (интеграл на интервале от 2 до x дает - (279), при $x=10^6$ - 1393 (1446), при $x=10^7$ - 8453 (8591), при $x=10^8$ - 55600 (55491). Разница с интегралом от 4 до x остается, как для малых интервалов, поэтому нижняя граница интегрирования на больших интервалах уже не имеет такого значения.

[vorvalm]

Проблемы возникнут при $k>6$.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #663450 писал(а):

Проблемы возникнут при $k>6$.

А в чем проблемы?

[vorvalm]

А вы попробуйте.

[vicvolf]

Дело в том, что коэффициент $C_2$ для близнецов равен 1,32..... в формулах Харди-Литлвуда. А откуда Вы взяли значение $C_6$ и выше? Это отдельная проблема!

[vorvalm]

А при чем здесь Харди и Литлвуд? Разве это не ваша формула?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #663576 писал(а):

А при чем здесь Харди и Литлвуд? Разве это не ваша формула?

У Харди-Литвуда гипотеза. Я в результате доказательства получил формулу, подтверждающую гипотезу Харди-Литлвуда -
http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Моя формула отличается только нижним пределом интегрирования, который уменьшает ошибку при небольших значениях x.

[vorvalm]

Спасибо за ссылку. Я с ней знаком несколько раньше.
Ваша формула отличается не только нижним пределом, но и числом вычетов в группах и,
следовательно, коэффициентом $C_k$.
Кстати, нижний предел при асимптотике мало кого интересует.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #663596 писал(а):

Ваша формула отличается не только нижним пределом, но и числом вычетов в группах и,
следовательно, коэффициентом $C_k$.
Кстати, нижний предел при асимптотике мало кого интересует.

Я не ставил целью в работе расчет коэффициентов $C_k$. Это отдельная проблема. Конечно, при больших x нижний предел интегрирования не очень влияет. Ну добавит еще 5, например при k=3.