Я так понял, что даже тот факт, что при
![$|a|<1$ $|a|<1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/3/713c0f4cbdb38539d55a2f3d0730c7d082.png)
, когда ряд из производных сходится равномерно, у нас не будет работать правило Лейбница, так как нарушается непрерывность в точке
![$x=1$ $x=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/1/f41f51aeb9528548f1409a3a0ec6164082.png)
.
Тут два момента -- эвристический и формальный. Представляется очевидным, что дифференцировать можно, т.к. после дифференцирования получается нечто вполне приличное; и вопрос лишь в том, как это формализовать.
Поскольку особенность в единице никак не связана с зависимостью от параметра, от неё легко избавиться подходящей заменой переменной. В данном случае -- например, заменив икс на синус новой переменной. Получится вполне себе собственный интеграл, для которого никаких вопросов насчёт равномерности не возникает, т.к. вполне очевидна непрерывная дифференцируемость по параметру новой подынтегральной функции. Причём замена нужна не столько для вычисления продифференцированного от интеграла, сколько для обоснования корректности дифференцирования; потом (после дифференцирования) можно бы, в принципе, и вернутся к прежней переменной. Но конкретно здесь лучше не возвращаться.
Это всё, естественно, при
![$|a|<1$ $|a|<1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/3/713c0f4cbdb38539d55a2f3d0730c7d082.png)
. Дальше остаётся лишь найти предел полученного выражения при
![$a\to\pm(1-0)$ $a\to\pm(1-0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/0/e00a2209241c0bf54d5b52581ab05c5382.png)
, но это уже чисто техническая работа (непрерывность по параметру исходного интеграла в граничных точках достаточно очевидна).