Дифференцируемость по параметру.

[number_one]

SpBTimes в сообщении #663141 писал(а):

Подумайте сами

$x\in[0;1]$

$$\Bigg|\dfrac{\ln(1-a^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant\Bigg|\dfrac{2\ln(1-ax)}{ \sqrt{2}\sqrt{1-x}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{2\sqrt{1-x}}{ \sqrt{2}\sqrt{1-x}}\Bigg|\leqslant\sqrt{2}???$$

[SpBTimes]

C последней оценкой я бы был поаккуратнее

[number_one]

SpBTimes в сообщении #663156 писал(а):

C последней оценкой я бы был поаккуратнее

Ну у меня больше нет идей насчет другой оценки, кроме этой

$$\Bigg|\dfrac{\ln(1-a^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant\Bigg|\dfrac{2\ln(1-ax)}{ \sqrt{2}\sqrt{1-x}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{2\ln(1-x)}{ \sqrt{2}\sqrt{1-x}}\Bigg|$$

А она не походит, ибо это неравенство не выполняется.

[SpBTimes]

Достаточно оценки ${}\leqslant \left|\frac{\ln(1 - x^2)}{\sqrt{1 - x}}\right|$
Сходимость интеграла от данного выражения проверяется интегрированием разок по частям

Модуль вставил. //AKM

[SpBTimes]

Только модуль от всего этого безобразия

[number_one]

SpBTimes в сообщении #663256 писал(а):

Только модуль от всего этого безобразия

Спасибо! То есть по Вейештрасса здесь нужно, а дифференцировать по параметру нельзя вот так??

(Демидович предлагает дифференцировать по параметру вот так)

[SpBTimes]

С этим сканом вы порядком надоели. Еще в самый первый раз я сказал, что для несобственного интеграла вообще другие предположения используются.
Так что здесь так нельзя

[number_one]

SpBTimes в сообщении #663282 писал(а):

С этим сканом вы порядком надоели. Еще в самый первый раз я сказал, что для несобственного интеграла вообще другие предположения используются.
Так что здесь так нельзя

Вот я затупил, простите, пожалуйста!

Прочитал в книжке Бермант А.Ф, что правило Лейбница будет работать и для несобственных интегралов, если интеграл от производной по параметру будет сходиться равномерно) Теперь понял зачем вы просили проверять равномерную сходимость интеграла от производной. Я так понял, что даже тот факт, что при $|a|<1$, когда ряд из производных сходится равномерно, у нас не будет работать правило Лейбница, так как нарушается непрерывность в точке $x=1$.

[number_one]

SpBTimes в сообщении #663202 писал(а):

Достаточно оценки ${}\leqslant \left|\frac{\ln(1 - x^2)}{\sqrt{1 - x}}\right|$
Сходимость интеграла от данного выражения проверяется интегрированием разок по частям

Модуль вставил. //AKM

А можно оценку взять такую???? ${}\leqslant \left|\frac{\ln(1 - x)}{\sqrt{1 - x}}\right|$

[SpBTimes]

Будет там все работать.
Оценивайте как хотите, тут это особо не влияет

[number_one]

SpBTimes в сообщении #663407 писал(а):

Будет там все работать.
Оценивайте как хотите, тут это особо не влияет

Спасибо большое, что помогли разобраться! Только остался все-таки один момент, который не понятен.

Вот мы проверяем - сходится ли равномерно интеграл от производной по параметру на интервале $(-1;1)$.

$$\Bigg|\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant\Bigg|\dfrac{2}{(1-ax)\cdot 2\cdot \sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-ax) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-a) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|$$

Но по критерию Вейерштрасса у нас мажоранта не должна зависеть от параметра, а она зависит. Чем можно ограничить, чтобы мажоранта не зависела от параметра?

[vorvalm]

number_one в сообщении #662820 писал(а):

Здравствуйте! Как можно доказать то, что здесь можно вычислить интеграл применяя дифференцирование по параметру?


$\int\limits_0^1\dfrac{\ln(1-a^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx\quad\quad |a|\le 1$

Нужно проверить непрерывность подынтегральной функции в нуле, в 1? а что еще ?

Господа, я же дал подсказку:(по параметру t)
$x=sint,\;dx=cost \cdot dt$
$dy=\ln(1-a^2\cdot \sin^2t)dt$

[ewert]

number_one в сообщении #663301 писал(а):

Я так понял, что даже тот факт, что при $|a|<1$, когда ряд из производных сходится равномерно, у нас не будет работать правило Лейбница, так как нарушается непрерывность в точке $x=1$.

Тут два момента -- эвристический и формальный. Представляется очевидным, что дифференцировать можно, т.к. после дифференцирования получается нечто вполне приличное; и вопрос лишь в том, как это формализовать.

Поскольку особенность в единице никак не связана с зависимостью от параметра, от неё легко избавиться подходящей заменой переменной. В данном случае -- например, заменив икс на синус новой переменной. Получится вполне себе собственный интеграл, для которого никаких вопросов насчёт равномерности не возникает, т.к. вполне очевидна непрерывная дифференцируемость по параметру новой подынтегральной функции. Причём замена нужна не столько для вычисления продифференцированного от интеграла, сколько для обоснования корректности дифференцирования; потом (после дифференцирования) можно бы, в принципе, и вернутся к прежней переменной. Но конкретно здесь лучше не возвращаться.

Это всё, естественно, при $|a|<1$. Дальше остаётся лишь найти предел полученного выражения при $a\to\pm(1-0)$, но это уже чисто техническая работа (непрерывность по параметру исходного интеграла в граничных точках достаточно очевидна).

[number_one]

Хорошо, спасибо. Значит там нельзя равномерно ограничить, ок.

$\int\limits_0^1\dfrac{\ln(1-a^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx\quad\quad |a|\le 1$

$x=\sin t$

$\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{\ln(1-a^2\sin^2x)\cos x}{\cos x}dx=\int\limits_0^{\pi/2}\ln(1-a^2\sin^2x)dx\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

1) Рассмотрим случай $|a|<1$

Данный интеграл $(1)$ не является несобственным, а значит сходится.

2) $\quad\quad |a|=1$

$$\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{\ln(1-a^2\sin^2x)\cos x}{\cos x}dx=\int\limits_0^{\pi/2}\ln(1-\sin^2x)dx=\int\limits_0^{\pi/2}\ln(\cos^2x)dx=2\int\limits_0^{\pi/2}\ln(\cos x)dx=2\int\limits_0^{\pi/2}\ln(\sin x)dx$$

Интеграл $\int\limits_0^{\pi/2}\ln(\sin x)dx$ сходится по предельному признаку сравнения с $\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{dx}{\sqrt{x}}$, так как

$\lim\limits_{x\to 0+0}\dfrac{\ln(\sin x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=0$

[number_one]

SpBTimes в сообщении #663202 писал(а):

Достаточно оценки ${}\leqslant \left|\frac{\ln(1 - x^2)}{\sqrt{1 - x}}\right|$
Сходимость интеграла от данного выражения проверяется интегрированием разок по частям

Модуль вставил. //AKM

А разве $\left|\frac{\ln(1 - a^2x^2)}{\sqrt{1 - x}}\right|\leqslant \left|\frac{\ln(1 - x^2)}{\sqrt{1 - x}}\right|$???