"Причудливая" кривая

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #633057 писал(а):

После нехитрых преобразований приходим к:
(3) $3m(m-1) = k(k-1)$

Сравните с (1): там есть множитель 5, а здесь его нет. Куда делся?

alexo2 в сообщении #633057 писал(а):

Используя (2), запишем:
(4) $3m(m-1) = n(n-1)(n-2)$

И здесь не так будет.

Что-то у Вас сегодня с арифметикой ... Впрочем, даже не в этом дело. Вот это

alexo2 в сообщении #633057 писал(а):

В «Википедии» (статья «Тетраэдрические числа») читаем, что существует всего пять треугольных чисел равных тетраэдрическим.

ничуть не проще доказать, чем исходное утверждение.

[alexo2]

Сейчас объясню, с арифметикой вроде все нормально.. Вот только в Ворде набросаю.

-- 20.10.2012, 11:52 --

Из трех треугольных чисел, "оставшихся" от разности кубов вычтем три треугольных числа, "оставшихся" от разности пятых степеней. При этом, останется в равенстве с одной стороны- три разности треугольных "кубовых" и "пятистепенных" чисел, с другой - два "пятистепенных" треугольных числа:
$3(m(m-1)-k(k-1))/2 = 2k(k-1)/2$, ну, или
$3m(m-1) = k(k-1)$

-- 20.10.2012, 12:15 --

Что-то сам не понял, как вместе "уживаются" (1) и (3), но так получается, и, вроде правильно по рассуждениям
Однако, с тетраэдрическим числом неувязочка, но сейчас "разрулить" попробую...

-- 20.10.2012, 12:24 --

А, может, на этом и есть конец доказательства - (1) и (3) вместе выполняться не могут, а должны?

-- 20.10.2012, 12:34 --

Вернее, имеют единственное тривиальное решение $m=k=1$

[alexo2]

Будет
$3m(m-1)=5k(k-1)$
Да уж, пора завязывать..

[alexo2]

Итак, все же используя некоторые интересные свойства треугольных чисел, докажем, что
(1)$x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$
не имеет решений в натуральных числах кроме тривиальных.
В (1) левая часть представляет собой число вида:
(2)$1+6T_3$, где $T_3$ - треугольное число.
Правая часть:
(3)$1+10T_5$, где $T_5$ - треугольное число.
Чтобы выполнялось (1), необходимо, чтобы выполнялось:
(4)$1+6T_3=1+10T_5$
Отсюда,
(5)$10T_5/6=T_3$ или $10T_5/6$ должно быть ЛЮБЫМ треугольным числом.
Воспользуемся свойством треугольных чисел:
Число Т треугольное тогда и только тогда, когда $8T+1$ является квадратом натурального числа.
Из свойства и (5) следует:
(6)$40T_5/3+1=a^2$
(7)$8T_5+1=b^2$
Из (6) и (7):
(8)$(40T_5+5)/3=a^2+2/3$ или
(9)$5b^2-3a^2=2$
(9) имеет единственное натуральное решение $a=b=1$. При этом $T_3=T_5=0$, а $x=y=1$
То есть, (1) имеет единственное тривиальное натуральное решение.

[alexo2]

Упс, поторопился,
(9) имеет решения, например, $b=7; a=9$, соответственно, $T_3=10$, а вот с $T_5$ такая "петрушка" получается, - в данном случае оно, по этим формулам равно 6 и это действительно так, но дело в том, что при разнице соседних пятых степеней получаются далеко не все треугольные числа (как это происходит в разнице кубов). И, естественно, 6 там нет.
А я-то думал, как это у меня в рассуждениях появилось "избыточное" известное условие?..
Оказывается избыточного ничего нет, и придется использовать некоторые свойства подмножества треугольных чисел от разницы пятых степеней.
Основное из них - их последовательные порядковые номера равны произведению последовательных соседних натуральных чисел. Начало ряда порядковых номеров: 0, 2, 6, 12, 20, 30 и т.д.
Начало ряда самих треугольных чисел такого вида: 0, 3, 21, 78 и т.д.

[alexo2]

При этом все решения (9) расположены "возле" $8^n$. И действительно, например, все решения до $a, b < 20000$:

$(1, 1)$, $8^0=1$
$(7, 9)$, $8^1=8$
$(55, 71)$, $8^2=64$
$(433, 559)$, $8^3=512$
$(3409,4401)$, $8^4=4096$

следующее должно быть "в районе" $8^5=32768$
и т.д.
Однако, этим решениям соответствуют треугольные числа, не входящие в подмножество треугольных чисел, образованных от разности соседних пятых степеней.

[alexo2]

(Оффтоп)

Давненько не брался за "перо" ...

Итак, общий ход доказательства:
1. Предположим, что
$x^3-(x-1)^3=y^3-(y-1)^3$ (1)
имеет хотя бы одно отличное от тривиального решение.
Покажем, что по остаткам от деления на 11, всего возможно 5 вариантов равенства (1) с добавлением в обе части (1) слагаемых $-2, -1, 0, +1, +2$.
2. Покажем, что для представления разности соседних кубов в виде:
$1+6N$ (2),
где $N$ - любое натуральное число, все возможные решения по $N$, при которых справедливы вышеозначенные 5 вариантов равенств, исчерпываются 5-тью соответствующими представлениями, только одно из которых имеет решения в натуральных числах в случае, когда N - треугольное число. Найдем общее представление (формулу) решений этого единственного квадратного уравнения.
3. Используя то, что если (1) верно, то все его возможные решения через соответствующие преобразования должны быть подмножеством решений:
$5a^2-3b^2=2$ ,
(что показано в трех предыдущих постах данной темы), и, подставляя полученное в 2 представление, убедимся, что полученное уранение не имеет решений.

Хотелось бы спросить у уважаемого nnosipov: корректна ли будет такая схема доказательства?

[alexo2]

Прошу прощения, в (1) предыдущего поста $y$ и $(y-1)$ в пятой степени (а то редактировать уже не дают ):
$x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #662540 писал(а):

корректна ли будет такая схема доказательства?

Будет корректна. Но реализовать п. 3 очень непросто --- это тонкая наука. Уравнение $5a^2-3b^2=2$ имеет бесконечно много решений, записываемых в экспоненциальном виде. И отыскать среди них все те, которые приведут к решениям исходного уравнения --- в этом-то и состоит проблема. Такие уравнения, как исходное, относятся к так называемым "уравнениям Туэ". Есть специальная теория их решения, но она совершенно неэлементарна.

upd: не относятся к "уравнениям Туэ", а могут сведены к решению "обобщённого уравнения Туэ" (метод, который впервые предложил Зигель).

[alexo2]

nnosipov в сообщении #662665 писал(а):

...отыскать среди них все те, которые приведут к решениям исходного уравнения --- в этом-то и состоит проблема... .

Не совсем понял, - надо ведь как раз доказать, что таких решений не существует?
Или имеется ввиду - ещё "сузить круг" возможных решений, а потом, сравнительно просто доказать невозможность существования решений?
Однако, в любом случае, в п.3 я пришел к уравнениям (их 4-ре штуки) вполне "адекватного" для решения (или док-тв несуществования оных) вида.
Вот, например, одно из них:
$55a^2+5a-33b^2-3b=0$...

А.. имеется ввиду "исходное" не (1) а именно
$5a^2-3b^2=2$
Ну, я нашел решения этого уравнения (в смысле алгебраическое представление всех решений - Вы же сами советовали мне посмотреть ур-ния Пелля - так я и нашел зависимость, зная первые решения)...

[alexo2]

Я, собственно, почему и задал вопрос о корректности - не до конца уверен, что, решая довольно сложные уравнения, можно использовать метод нахождения зависимостей из первых решений, найденных методом подбора. Хотя этот метод я "подсмотрел" как раз, когда изучал решение "пеллеподобных" уравнений...

Тут единственный "смущающий" момент - как доказать, что найденные зависимости приводят к исчерпывающему все решения представлению... (Хотя, чисто интуитивно, - это так)...

[alexo2]

Произвел прямую проверку перебором по $x, y$ до 10000 и $a$ до 25 для
$x^3-(x-a)^3=y^5-(y-a)^5$
Далее - числа очень большие и надо делать программу для обработки таких чисел (но, все равно, я смогу - не более чем до 100000, может, кто-то сможет больше?), однако, думаю, и до 10000 можно делать кое-какие выводы..
Так вот, при описанных условиях перебора, откидывая значения $(x-a)<0, (y-a)<0$, так как это не совсем "та" ветка решений, которые интересуют и тривиальные решения, найдено только одно решение:
$x=161, y=14, a=7$
Похоже, что для $a=7$, оно- единственное...
Вывод при этом такой:
точно - не для всех а не имеется решений,
предположительно - для а имеющих решения, они будут единственными.
Для соседних простых степеней до 29-ой включительно также проверено до 1000 и а=1. Решений нет.
Для "несоседних" простых степеней решения есть..
Надо проанализировать результаты перебора.

[tolstopuz]

alexo2 в сообщении #663885 писал(а):

$x=161, y=14, a=7$

Тут есть общий множитель.

И тут есть: $x=1960, y=56, a=49$
А вот тут нет: $x=3396, y=73, a=61$

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #662696 писал(а):

А.. имеется ввиду "исходное" не (1)

Нет, в качестве исходного я имел в виду именно уравнение (1).

-- Ср дек 26, 2012 19:48:16 --

alexo2 в сообщении #662804 писал(а):

Тут единственный "смущающий" момент - как доказать, что найденные зависимости приводят к исчерпывающему все решения представлению...

Вот несколько примеров уравнений типа Вашего (1), на которых Вы можете прочувствовать этот "смущающий" момент, пытаясь решить эти уравнения в целых числах:

$x^2=y^4+1$ (тривиально)
$2x^2=y^4-1$ (относительно легко)
$x^2=2y^4+1$ (чуть труднее)
$2x^2=y^4-17$ (всегда бы так было)
$x^2=2y^4-1$ (очень трудно)

Ваше уравнение $x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$ относится, скорее всего, к последней категории.

[alexo2]

tolstopuz в сообщении #663990 писал(а):

alexo2 в сообщении #663885 писал(а):

$x=161, y=14, a=7$

Тут есть общий множитель.

И тут есть: $x=1960, y=56, a=49$
А вот тут нет: $x=3396, y=73, a=61$

Спасибо за решения. Как я понял, Вы просчитали до $a=100$?
Так что решения есть только когда а-простое или квадрат простого (как это часто бывает) и решения эти - единственные...

-- 26.12.2012, 20:19 --

nnosipov в сообщении #664001 писал(а):

Вот несколько примеров уравнений типа Вашего (1), на которых Вы можете прочувствовать этот "смущающий" момент, пытаясь решить эти уравнения в целых числах:

$x^2=2y^4-1$ (очень трудно)

Ваше уравнение $x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$ относится, скорее всего, к последней категории.

То есть, я до этого представил неправильную схему доказательства? Или метод "вычисления" "формулы" решений не правильный (недостаточный для всех решений)?
Опять же, - не совсем понятно, - Вы допускааете, что решения есть?