"Причудливая" кривая

[alexo2]

Можно ли выражение
$x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$
каким-то образом преобразовать в "причудливую эллиптическую кривую"?, так как, похоже, что это равенство не имеет решений в натуральных числах (кроме, естественно, тривиальных)

[Хорхе]

Можно, но в очень причудливую. И притом гиперэллиптическую.

Скобки раскройте.

[alexo2]

Кстати, справедливо для любых соседних простых степеней большим 2. Доказательство элементарное.

[Феликс Шмидель]

alexo2 в сообщении #627114 писал(а):

Кстати, справедливо для любых соседних простых степеней большим 2. Доказательство элементарное.

Приведите, пожалуйста, это доказательство. Если в левой части многочлен второй степени, а в правой - четвёртой степени, понятно что кривая может быть эллиптической. А если более высокие степени - что вдруг?
И хотелось бы знать, какая связь с ВТФ?

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627114 писал(а):

Доказательство элементарное.

Весьма сомнительно даже для уравнения $x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #627123 писал(а):

alexo2 в сообщении #627114 писал(а):

Доказательство элементарное.

Весьма сомнительно даже для уравнения $x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$.

Дело в том, что $ ((y^5-(y-1)^5)-1)/6 $ – ВСЕГДА не «треугольное число», в то время как для третьей степени аналогичное выражение – ВСЕГДА «треугольное число».

[atlakatl]

Чем она "причудливая"? x-сы третьей степени сокращаются, y-ки пятой тоже. Решаем обычное квадратное уравнение относительно x. Получаем 4 ветки довольно скучной формы.

[alexo2]

atlakatl в сообщении #627161 писал(а):

Чем она "причудливая"? x-сы третьей степени сокращаются, y-ки пятой тоже. Решаем обычное квадратное уравнение относительно x. Получаем 4 ветки довольно скучной формы.

Да не вопрос - пусть формы будут "скучными". Решить-то можете?

А меж тем далее:
А, так как два соседних треугольных числа – в сумме всегда квадратное число, то $y^3-(y-2)^3 = y^5-(y-2)^5$ – также не выполняется для натуральных.

-- 05.10.2012, 11:37 --

Феликс Шмидель в сообщении #627120 писал(а):

alexo2 в сообщении #627114 писал(а):

Кстати, справедливо для любых соседних простых степеней большим 2. Доказательство элементарное.

И хотелось бы знать, какая связь с ВТФ?

Ну, например, у меня есть док-во на этой базе случая ВТФ для соседних кубов элементарным способом.

[alexo2]

Счас сформулирую...

Разность двух соседних кубов – всегда вида $1+6T$, где Т-треугольное число.

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627149 писал(а):

Дело в том, что $ ((y^5-(y-1)^5)-1)/6 $ – ВСЕГДА не «треугольное число»

Собственно, это и нужно доказать. Вряд ли здесь есть элементарное доказательство.

alexo2 в сообщении #627164 писал(а):

Ну, например, у меня есть док-во на этой базе случая ВТФ для соседних кубов элементарным способом.

Излагайте, найдём ошибку.

[alexo2]

Излагайте, найдём ошибку

Сейчас на работе - а потом – пятница (пивной день) Завтра к обеду - все будет...

-- 05.10.2012, 16:06 --

Предварительно скажу, что доказательство основано на том, что разность треугольных чисел, это не просто «некое число, имеющее свое абсолютное значение», а и определенный геометрический смысл – вспомните, как изображено треугольное число в Википедии, например. Так вот, этот самый остаток обладает определенными свойствами, которыми не обладает абсолютное значение разности. На том и построено доказательство. Оно совсем легкое – ничего подобного неочевидным вещам наподобие леммы Эйлера и проч. в нем нет.
В этом всем мне, правда, не до конца понятно – надо ли доказывать, что разность соседних кубов – всегда 1 плюс 6 умноженное на треугольное число.

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #627238 писал(а):

В этом всем мне, правда, не до конца понятно – надо ли доказывать, что разность соседних кубов – всегда 1 плюс 6 умноженное на треугольное число.

Вот это как раз доказывать не надо, потому что это очевидно. Итак, мы от Вас ждём элементарного доказательства того, что уравнение $x^3-(x-1)^3=y^3$ не имеет решений в натуральных числах $x$, $y$ ($x>1$).

[alexo2]

К 13.00, как и обещал, будет док-во, но, видимо, в новой теме...

[alexo2]

Немного преобразуя исходное утверждение о невозможности равенства разности соседних кубов и разности соседних пятых степеней, попытаюсь теперь доказать эквивалентное утверждение:

"Любое треугольное число, умноженное на 3 никогда не будет равно треугольному числу умноженному на 5, если последнее имеет порядковый номер вида $n(n-1)$"

[alexo2]

Итак, для доказательства отсутствия решений в целых числах (кроме тривиальных) равенства разностей соседних кубов и соседних пятых степеней, попытаемся доказать, что «эквивалентное» выражение
(1) $5k(k-1)/2 = 3m(m-1)/2$, где
(2) $k=n(n-1)$
не имеет решений в целых числах.
Объясню, почему «эквивалентное» в кавычках. Естественно, потому что в прямом смысле это не исходное выражение, а только некая его логическая часть, которая обязана выполняться при выполнении исходного выражения.
А также, забегая вперед, объясню, почему «попытаемся доказать» – оказывается решения есть, но это как ни странно, наоборот, поможет в доказательстве отсутствия решений исходного уравнения.
После нехитрых преобразований приходим к:
(3) $3m(m-1) = k(k-1)$
Используя (2), запишем:
(4) $3m(m-1) = n(n-1)(n-2)$
Делим обе части на 6 (а они должны делиться в силу очевидных причин):
(5) $m(m-1)/2 = n(n-1)(n-2)/6$
… и замечаем, что в левой части (5) – треугольное число, в правой – тетраэдрическое.
В «Википедии» (статья «Тетраэдрические числа») читаем, что существует всего пять треугольных чисел равных тетраэдрическим.
То есть, вообще-то решения есть.
Однако, одновременно с исходным уравнением удовлетворяет только одно – тривиальное – 1…
Вот так, с помощью свойств фигурных чисел, элементарных рассуждений и «Вики» получено доказательство исходного предположения.