2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение26.12.2012, 20:58 
nnosipov в сообщении #664001 писал(а):
$x^2=y^4+1$ (тривиально)
$2x^2=y^4-1$ (относительно легко)
$x^2=2y^4+1$ (чуть труднее)
$2x^2=y^4-17$ (всегда бы так было)
$x^2=2y^4-1$ (очень трудно)


Так, навскидку..
Первое доказывается представлением 4-ой степени квадратом.
Второе и третье - бесконечным спуском.
А вот четвертое - что-то не соображу... :-(
Что-то запутался - а пятое вообще имеет решения (239, 13)...

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение27.12.2012, 10:56 
Уравнение $x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$ можно свести к уравнению $X^2-15Y^2=-6$, где $X=6x-3$, $Y=2y^2-2y+1$. Все решения последнего уравнения в натуральных числах $(X,Y)=(X_k,Y_k)$ находятся по формуле$$
X_k+Y_k\sqrt{15}=(3+\sqrt{15})(4+\sqrt{15})^k, \quad k=0,1,2,\dots
$$Теперь нужно выяснить, при каких $k$ уравнение $Y_k=2y^2-2y+1$ будет разрешимо в натуральных числах $y$. Это равносильно вопросу о том, при каких $k$ число $2Y_k-1$ будет точным квадратом. Получить ответ на этот вопрос --- это и есть главная проблема. А она, по всей видимости, решается очень трудно. Вот ещё один пример подобной, но более известной проблемы: найти все числа Фибоначчи, которые являются точными квадратами.
alexo2 в сообщении #664159 писал(а):
А вот четвертое - что-то не соображу... :-(
А это пример уравнения, где аналогичную проблему удаётся решить элементарными средствами --- всего лишь удачное стечение обстоятельств.
alexo2 в сообщении #664159 писал(а):
Что-то запутался - а пятое вообще имеет решения (239, 13)
Доказать, что других решений нет --- это опять очень сложно.
alexo2 в сообщении #664159 писал(а):
Первое доказывается представлением 4-ой степени квадратом.
Правильно.
alexo2 в сообщении #664159 писал(а):
Второе и третье - бесконечным спуском.
Есть более элементарный подход. Метод спуска нужен, если решать эти уравнения в рациональных числах.

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение27.12.2012, 11:00 
Спасибо за разъяснения, попробую последовательно разобраться.

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 09:14 
Интересно, а можно ли где-нибудь в нете найти ссылки на упоминаемое у Эдвардса, хоть и сложное, но элементарное (насколько я понял) доказательство того факта, что никакое треугольное число не может быть четвертой степенью?
Полезно было бы посмотреть используемые подходы и приемы. Мне кажется, что они будут такими же, которые необходимы и для доказательства последнего, самого сложного примера от nnosipov... И вполне могут пригодиться для док-ва исходного предположения этой темы..

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 10:24 
alexo2 в сообщении #664734 писал(а):
на упоминаемое у Эдвардса, хоть и сложное, но элементарное (насколько я понял) доказательство того факта, что никакое треугольное число не может быть четвертой степенью
Точную ссылку (на какой стр. у Эдвардса) можете дать? Эта задача действительно связана с уравнением $x^2=2y^4-1$, а именно, может быть сведена к решению уравнения $x^4=2y^4-1$. Это последнее также не похоже на легко решаемое, поэтому было бы интересно найти здесь элементарный подход (если верить Эдвардсу, он должен быть).

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 11:38 
Вот нашел... В самом начале стр. 55 Эдвардс пишет:
"В заключение ещё одна теорема, которую легко сформулировать, но далеко не легко доказать: ни одно треугольное число большее 1 не является 4-ой степенью...Первое доказательство этого факта примерно через 150 лет было опубликовано в "Теории чисел" Лежандра"...

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 11:48 
Спасибо. Ну что же, нужно читать товарища Лежандра. Было бы неплохо, если бы Вы разобрали это доказательство, а затем рассказали бы нам здесь. Я этого доказательства не знаю.

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 11:56 
nnosipov в сообщении #664775 писал(а):
Спасибо. Ну что же, нужно читать товарища Лежандра. Было бы неплохо, если бы Вы разобрали это доказательство, а затем рассказали бы нам здесь. Я этого доказательства не знаю.

Я - то бы с радостью - но у меня нет "Теории чисел" Лежандра и поиск "не рулит" :shock: Я поэтому и интересовался, может где-то есть хотя бы в отдельности приведенное доказательство...

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 13:52 
nnosipov в сообщении #664742 писал(а):
может быть сведена к решению уравнения $x^4=2y^4-1$
В "Mordell L.J. Diophantine equations (AP, 1969)(KA)(ISBN 0125062508)(600dpi)(T)(326s)_MT_.djvu" на стр. 72 рассматривается более общее уравнение $x^4=2y^4-z^2$, где $\gcd{(x,y)}=1$ (теорема 5). Оно исследуется методом спуска. Книга Лежандра у меня есть, но в очень плохом качестве: topic66830.html Интересно было бы сравнить, но, скорее всего, у Лежандра тоже применяется метод спуска.

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 14:01 
А я пока посмотрю у Морделла...

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение29.12.2012, 10:50 
nnosipov в сообщении #627272 писал(а):
alexo2 в сообщении #627238 писал(а):
В этом всем мне, правда, не до конца понятно – надо ли доказывать, что разность соседних кубов – всегда 1 плюс 6 умноженное на треугольное число.
Вот это как раз доказывать не надо, потому что это очевидно. Итак, мы от Вас ждём элементарного доказательства того, что уравнение $x^3-(x-1)^3=y^3$ не имеет решений в натуральных числах $x$, $y$ ($x>1$).


Извиняюсь, я правильно понял, что в данном случае $x$ и $y$ не являются переменными уравнения $x^3+y^3=z^3$?

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение29.12.2012, 11:02 
ananova в сообщении #664984 писал(а):
[quote="nnosipov в сообщении #627272"
Итак, мы от Вас ждём элементарного доказательства того, что уравнение $x^3-(x-1)^3=y^3$ не имеет решений в натуральных числах $x$, $y$ ($x>1$).


Извиняюсь, я правильно понял, что в данном случае $x$ и $y$ не являются переменными уравнения $x^3+y^3=z^3$?[/quote]
Ну, скажем так - это частный случай с разностью соседних кубов, правда, по ним здесь несколько отдельных тем. Но не эта...

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение29.12.2012, 14:24 
nnosipov в сообщении #664804 писал(а):
Интересно было бы сравнить, но, скорее всего, у Лежандра тоже применяется метод спуска.
Да, так и есть. См. стр. 406 в книге по ссылке http://archive.org/download/essaisurlat ... 00lege.pdf

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение29.12.2012, 14:43 
nnosipov в сообщении #665046 писал(а):
Да, так и есть. См. стр. 406 в книге по ссылке http://archive.org/download/essaisurlat ... 00lege.pdf

Вот спасибо за ссылку! И качество, вроде неплохое.

 
 
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение30.12.2012, 18:15 
Аватара пользователя
 !  alexo2,

Извольте следить за качеством сообщений. Для этого служит кнопка \fbox{Предпросмотр}.
Я имею в виду корявое цитирование в этом Вашем сообщении.

Код:
[quote="........."  <--- (Вот здесь Вы просто откусили квадратную скобку, закрывающую тэг quote.)
Итак, мы...

 
 
 [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group