Задача по Теории Вероятностей.

[johnnyfunt]

В круг радиуса r бросают наугад точку. Найти совместную функцию распределения полярных координат точки.

$\varphi$ - случайна величина полярный угол, изменяется от 0 до $\pi$.
$R$ - случайная величина полярный радиус, изменяется от $0$ до $r$.

Решил идти таким путем: сначала найти плотность распределения $f(R,\varphi)$, а дальше, проинтегрировав, найти функцию $F(R,\varphi)$.

Нашел в интернете, а конкретно здесь http://physics-animations.com/matboard/messages/27773.html, что по определению:

$f(R,\varphi)=\lim_{\delta S\to0}\frac{P\{(R,\varphi)\in S\}}{\delta S}$, где:

область S - прямоугольник - стягивается в точку с полярным координатами $(R,\varphi)$, а $\delta S$ - его площадь, равная:

$\delta S=\delta \varphi \times \delta r$.

Поясните, пожалуйста, откуда это возникает равенство с пределом (в определении не нашел такого, как написано в решении) и откуда возникает дальше такое равенство:

$P\{(R,\varphi)\in S\}=\frac{r}{\pi R^{2}}\delta \varphi \delta r$

[AKM]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам: отсутсвие попыток решения.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул
johnnyfunt, окружайте всю формулу целиком одной парой долларов.

[--mS--]

(Оффтоп)

Не собираюсь трактовать надписи на заборах.

Приведите определение функции совместного распределения двух случайных величин $R$ и $\varphi$.

А также напишите, что означают слова "в круг бросают наугад точку". Только без фантазий, а по определению.

[johnnyfunt]

Определение:
Функцией распределения случайных величин полярных координат точки $(R,\varPhi)$ называется такая функция $F(r,\varphi)$:

$F(r,\varphi)=P\{R<r, \varPhi<\varphi\}$,

определяющую для каждой пары полярных координат $r, \varphi$ вероятность того, что $\varPhi<\varphi$ и $R<r$.

В круг наугад бросают точку - значит точке задают случайные координаты $R и\varphi$.

-- 23.12.2012, 13:34 --

johnnyfunt в сообщении #662324 писал(а):

Определение:
Функцией распределения случайных величин полярных координат точки $(R,\varPhi)$ называется такая функция $F(r,\varphi)$:

$F(r,\varphi)=P\{R<r, \varPhi<\varphi\}$,

определяющую для каждой пары полярных координат $r, \varphi$ вероятность того, что $\varPhi<\varphi$ и $R<r$.

В круг наугад бросают точку - значит точке задают случайные координаты $R, \varphi$.

[--mS--]

Замечательно, определение функции распределения Вы знаете. Но воспользоваться им пока не получится: для этого надо знать, что такое бросание точки наугад в круг:

johnnyfunt в сообщении #662324 писал(а):

В круг наугад бросают точку - значит точке задают случайные координаты $R и\varphi$.

Ответ ни о чём. Случайных величин (точнее, их распределений) пруд пруди.

Как будете считать вероятность точке, брошенной наудачу в круг, попасть в какое-множество $A$ внутри круга? См. геометрическое определение вероятности или равномерное распределение в области.

[johnnyfunt]

Вероятно, как отношение вероятности попадания в это множество к площади круга.

[--mS--]

Вы хотели сказать "отношение площади этого множества к площади круга". Ну вот и считайте функцию совместного распределения. Определение выше.

[johnnyfunt]

Т.е. будет так:

$P\{(r,\varPhi)\in A\}=\frac{S_A}{\pi r^2}$.

Но как посчитать $S_A$ (площадь множества $A$)?

Я предполагаю, что это будет площадь круга с радиусом $\Delta r \rightarrow 0$, так?

[--mS--]

Ещё раз приведите определение функции распределения пары случайных величин $(R, \varphi)$. Какую вероятность Вам следует вычислять, и какую вычисляете Вы?

[johnnyfunt]

johnnyfunt в сообщении #662324 писал(а):

Определение:
Функцией распределения случайных величин полярных координат точки $(R,\varPhi)$ называется такая функция $F(r,\varphi)$:

$F(r,\varphi)=P\{R<r,\varPhi<\varphi\}$,

определяющую для каждой пары полярных координат $r,\varphi$ вероятность того, что $R<r$ и $\varPhi<\varphi$.

Мне следует вычислить вероятность попадания точки с координатами $(R,\varPhi)$ в некое множество $A$, находящееся внутри круга, площадью $\pi r^2$.
Эта вероятность определяется как отношение площади этого множества $A$ к площади круга $\pi r^2$.
Но я не могу понять, за что принимать это множество. Есть мысль, что это бесконечно маленький прямоугольник, площадью $\Delta r \Delta \varphi$.

[--mS--]

Изучите, что такое полярные координаты, потом выясните, что такое область $R<r$, потом (отдельно) область $\Phi<\varphi$, потом возьмите их пересечение.

[johnnyfunt]

$R$ - расстояние от начала координат до точки (грубо говоря), $\varphi$ - угол отклонения от оси ОХ против часовой. Это мне известно.
Что значит взять их пересечение?
В смысле, брать площадь сектора?

[TOTAL]

johnnyfunt в сообщении #662511 писал(а):

$R$ - расстояние от начала координат до точки (грубо говоря), $\varphi$ - угол отклонения от оси ОХ против часовой. Это мне известно.
Что значит взять их пересечение?
В смысле, брать площадь сектора?

Метелка, представляющая собой отрезок $[0, R],$ повернулась на угол $\varphi$ вокруг своего конца, закрепленного в начале координат. Какую площадь замела метелка?

[johnnyfunt]

$\int_{0}^{\varphi}R^2d\varphi$=R^2\varphi