To
kostianiПопытаюсь ответить ровно по заголовку Вашей темы,не уклоняясь ни влево, ни вправо.
Из того факта, что всякая физическая система непременно содержит в себе математический аспект (объективно обладает логикой и структурой, и именно поэтому она может быть в принципе представлена в форме математической модели) вовсе не следует, что произвольная абстрактно-логическая конструкция непременно отображает физическую реальность.
Пример № 1. Допустим, мы хотим реализовать (интерпретировать) первую аксиому группы связи гильбертовой абстрактно-логической системы: «Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая а, проходящая через каждую из точек А и В». Препятствие, встающее на пути интерпретатора данного положения, - отсутствие физических признаков, отличающих «точки А и В» от «прямой а». Без остенсивного представления о том, что значат слова «точка», «прямая», «проходит», «лежит на» и пр., все гильбертовы аксиомы геометрии не могут быть применены. Чтобы эти положения прибрели смысл и значение, мы должны наполнить физическим содержанием первичные термины. Таким наполнением служит евклидова система геометрии, которая в свою очередь есть индуктивное обобщение тысячелетнего опыта древнеегипетских, шумерийских и вавилонских землемеров и строителей.
Пример № 2. В начале XIX в. почти одновременно два математика – Н. И. Лобачевский и Я. Больяй – предложили рассматривать геометрию как аксиоматическую теорию, построенную на евклидовой же системе постулатов, но с исключением из нее постулата о единственности параллельной. Другие же основные положения евклидовой системы и ее первичные термины («точки», «прямые» и пр.), они сохранили такими, к которым все привыкли (традиционными). В итоге получилось неплохо (внешне непротиворечиво), но в систему выводов вклинилась нетрадиционная теорема: сумма углов треугольника меньше двух прямых. Из дальнейшего анализа этой теоремы следовало, что дефицит суммы углов треугольника зависит от его площади: чем меньше площадь треугольника Л.-Б., тем различие между суммами углов евклидова треугольника меньше и, наоборот. Очевидны два следствия этой теоремы (есть и другие, но мы не будем на них задерживаться): 1) при уменьшении треугольника Л.-Б. пределом ему служит треугольник Евклида, т. е. треугольники Е. и Л.-Б. совпадают в предельно малом; 2) в геометрии Л.-Б. не существует отношения подобия, т. е. невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющей другие размеры.
Предварительный вывод. Геометрия возникла из практических потребностей и достигла теоретического совершенства в системе Евклида, а все ее хорошие свойства обусловлены свойствами земного пространства, подлежащего измерению, планированию, архитектурной и художественной обработке и пр., а также и свойствами инструментов, которыми все эти действия производятся. Плюс к этому должен обеспечиваться закон сохранения: инструменты во время их применения не должны сокращаться или деформироваться, а пространство должно сохранять форму и размеры (в процессе землетрясения, например, с ним работать нельзя). В пространстве как таковом (пустом пространстве) таких условий не существуют и для его измерения приходится применять стабильное движение (полет вороны, например, не годится), что и есть логическая связка - пространство-время. Инвариантность пространственного промежутка в евклидовой геометрии – ее субстанциальное свойство, не подлежащее никакому пересмотру. Иными словами, евклидовость – это инвариант множества прямых. В геометрии Л.-Б. в связи с отрицательной кривизной пространства ( в римановой – в связи с положительной кривизной) пространственный промежуток и инструмент для его измерения (стержень) не удовлетворяют указанному свойству и, следовательно, постулату Архимеда - об измеримости одной величины посредством другой, принятой за единицу, и выражения результата измерения посредством числа.
Окончательный вывод. Под кривизной пространства в традиционной (евклидовой) геометрии понимают отклонение некоторых евклидовых соотношений от евклидовых же теорем, а под мерой кривизны – величину подобного отклонения в абсолютном (евклидовом же) исчислении. Это положение выражается формально в декартовой системе координат, являющейся моделью евклидова пространства, так:
, где
и
– разности координат двух точек какой-либо поверхности;
– коэффициенты, характеризующие поверхность, на которой определяются разности координат. В случае евклидовой (не кривой) поверхности указанные коэффициенты принимают значения:
и
, следовательно квадратичная форма принимает наиболее простую (евклидову) форму:
Резюме. В случае любой неевклидовой геометрии, т. е геометрии, в которой не выполняется теорема Пифагора, коэффициенты g не равны 1 или 0. Эти значения остаются постоянными, если кривизна постоянна и переменными, если она меняется от точки к точке. Но в любом случае мы кривизну сравниваем с евклидовой «прямизной», она инвариант любого пространства. Следовательно, кривизна пространства – это не отклонение от евклидовой структуры. а ее локальное изменение относительно указанного инварианта. Такое же представление о кривизне может быть применено и 3-х мерному пространству. Что же касается так называемых n- мерных пространств, то я об них судить не берусь.