помогите решить легкие задачи по мат. анализу (ряды)

[YaOnline]

вот сами задачи

Найти область сходимости числового ряда
1. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(x+n)^{-1/5}}

Найти область сходимости функционального ряда
2. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}2n^{2}\sqrt{x-2}e^{\frac{-n^2}{(x-1)^3}}

Найти сумму ряда:
3. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(1+\frac 1 n)x^{n-1}

Найти сумму ряда:
4. $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(4n^2+9n+5)x^{n+1}


В 1 переходил с помощью интегрального признаку к интегралу, и на этом остановился, не хнаю что делать
В 2 использовал признак Коши, но у меня все равно осталась в степени n
В 3 пробовал разбить на 2 суммы, дальше не знаю что делать
В 4 так же разбил суммы на 3, и на этом заступорился

на сайте PlusPi есть некоторые решения аналогичных (вариант 1; 11, 13, 17, 18 соответственно)

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения задач и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

________________
Всякий, кто поступил в университет, но не хочет сам учиться - враг своей страны, подрывающий ее научно-технический, интеллектуальный и оборонный потенциалы.
(c) по мотивам сообщения Yuri Gendelman.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[YaOnline]

4-ю решил

[Deggial]

YaOnline в сообщении #661803 писал(а):

В 3 пробовал разбить на 2 суммы, дальше не знаю что делать

Обе суммы легко находятся явно: 1-я - ряд, который проходят еще в школе, 2-я - ряд Маклорена для одной элементарной функции

YaOnline в сообщении #661803 писал(а):

В 2 использовал признак Коши, но у меня все равно осталась в степени n

Попробуйте его здесь явно досчитать, он легко вычисляется. Кстати, что удобно сделать с $\sqrt{x-2}$?

YaOnline в сообщении #661803 писал(а):

В 1 переходил с помощью интегрального признаку к интегралу, и на этом остановился, не хнаю что делать

Проверьте ряд на вообще сходимость.

[YaOnline]

Deggial в сообщении #662001 писал(а):

YaOnline в сообщении #661803 писал(а):

В 3 пробовал разбить на 2 суммы, дальше не знаю что делать

Обе суммы легко находятся явно: 1-я - ряд, который проходят еще в школе, 2-я - ряд Маклорена для одной элементарной функции

Сделал, спасибо

Deggial в сообщении #662001 писал(а):

YaOnline в сообщении #661803 писал(а):

В 2 использовал признак Коши, но у меня все равно осталась в степени n

Попробуйте его здесь явно досчитать, он легко вычисляется. Кстати, что удобно сделать с $\sqrt{x-2}$?

YaOnline в сообщении #661803 писал(а):

В 1 переходил с помощью интегрального признаку к интегралу, и на этом остановился, не хнаю что делать

Проверьте ряд на вообще сходимость.

сейчас попробую, спасибо
то что $\sqrt{x-2}$ можно вынести за предел, это понятно, только от этого не легче

-- 22.12.2012, 20:39 --

во второй по Коши вот что получается
$\lim_{n \to \infty}\sqrt{x-2} e^{\frac {-n} {(x-1)^3}} dx$

-- 22.12.2012, 20:42 --

Спасибо за 1, там и правда ряд расходится

[Sonic86]

YaOnline в сообщении #662023 писал(а):

во второй по Коши вот что получается
$\lim_{n \to \infty}\sqrt{x-2} e^{\frac {-n} {(x-1)^3}} dx$

$dx$ стопудово не нужен.
Про $\sqrt{x-2}$ - это константа, от $n$ не зависит. Как изменится сходимость ряда, если его умножить на константу?
Еще Вам надо записать ОДЗ для $x$. ОДЗ делится на 2 части, на каждой по отдельности находите предел. Он легко находится. Если затрудняетесь, найдите сначала предел $\lim\limits_{n\to +\infty}e^{\frac{-n}{100500}}$

[YaOnline]

просто копировал, а dx забыл удалить
ОДЗ $X\geqslant2$

ай, там же $-n$ все, спасибо, понял