комплексно-сопряженные матрицы

[sadomovalex]

добрый день
пусть $C$ - комплексная матрица размера $n\times n$, $C=A+iB$, $\overline{C}=A-iB$. Рассмотрим определители
$\det(C\overline{C})=\det(A^2+B^2+i(BA-AB))$ и $\det(\overline{C}C)=\det(A^2+B^2+i(AB-BA))$. Но с другой стороны $\det(C\overline{C})=\det(C)det(\overline{C})=\det(\overline{C})\det(C)=\det(\overline{C}C)$. Сравнивая выражения определителей, получаем что должно выполняться условие $BA-AB=AB-BA$, т.е. $AB=BA$ - т.е. вещественная и мнимая части комплексной матрицы перестановочны между собой. Где тут ошибка

[PAV]

А разве у нас уже из равенства определителей двух матриц следует равенство самих матриц?

[sadomovalex]

нет не следует, но смущает выражение под определителем и то что результаты в конечном счете равны, т.е. $\det(M+N_1)=\det(M+N_2)$

[RIP]

Если $M$, $N$ --- вещественные матрицы, то $\det(M+iN)=\overline{\det(M-iN)}$. В частности, если $\det(M+iN)\in\mathbb{R}$, то определители равны. В нашем случае так и есть, поскольку

$$\det(C\overline C)=\det C\cdot\overline{\det C}=|\det C|^2\in\mathbb{R}.$$

[sadomovalex]

спасибо RIP
но остается следующий вопрос: пусть $M$, $N_1$ и $N_2$ действительный матрицы и $N_1\ne N_2$. Возможна ли ситуация, когда $\det(M+N_1)=\det(M+N_2)$

[Brukvalub]

Ответ очевиден - да. Достаточно прибавлять к диагональной матрице разные верхне-треугольные матрицы с нулями на главной диагонали

[PAV]

Разумеется, может. Из самых общих соображений. Допустим, Вы зафиксировали матрицы $M$ и $N_1$, а все $n^2$ элементов матрицы $N_2$ считаете независимыми неизвестными переменными. Равенство определителей - это одно линейное соотношение, которое (за исключением отдельных вырожденных ситуаций) уменьшит число переменных на 1. Проще говоря, из этого равенства можно выразить один элемент матрицы $N_2$ через остальные, после чего эти остальные $n^2-1$ переменных можно задавать как угодно.

(Еще раз - за исключением отдельных вырожденных ситуаций, связанных с равенством некоторых выражений нулю).

[Brukvalub]

PAV писал(а):

...это одно линейное соотношение...

Наверное, правильнее будет говорить об одном нелинейном соотношении?

[PAV]

Ну да, конечно, я не очень удачно выразился. Я имел в виду, что это равенство одно.

Если уже фиксированы все элементы матрицы $N_2$, кроме одного, то мы имеем простое линейное соотношение на этот один оставшийся элемент.

Добавлено спустя 1 минуту 48 секунд:

Которое может при неудачном выборке остальных оказаться вырожденным, т.е. коэффициент при этом одном параметре равен нулю. Тогда плохо, ибо от него ничего не зависит. В остальных случаях все хорошо, значение этого параметра определяется однозначно.

[sadomovalex]

спасибо за ответы, с темой разобрались

[lt3km]

Тут есть еще одно рассуждение, если вспомнить, что матрицы это координаты векторов во внешней алгебре, то можно получить формулы сложения определителей по последней строке в случае когда матрицы отличаются только в одной строке.

[Brukvalub]

lt3km писал(а):

...можно получить формулы сложения определителей по последней строке в случае когда матрицы отличаются только в одной строке.

Так все и так знают, что определитель является полилинейной и кососимметрической функцией строк (столбцов) матрицы. Это доказывается совсем по-детски, без привлечения всяких там внешних или внутренних алгебр.

[bot]

Brukvalub писал(а):

Так все и так знают, что определитель является полилинейной и кососимметрической функцией строк (столбцов) матрицы. Это доказывается совсем по-детски, без привлечения всяких там внешних или внутренних алгебр.

А также с добавлением ещё одного свойства $det E = 1$ может служить системой аксиом для задания определителя, при этом достаточно рассматривать его только лишь как функцию столбцов (или, наоборот, строк).

[lt3km]

Да, согласен. Забыл первый курс