2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 комплексно-сопряженные матрицы
Сообщение16.05.2007, 16:22 
добрый день
пусть $C$ - комплексная матрица размера $n\times n$, $C=A+iB$, $\overline{C}=A-iB$. Рассмотрим определители
$\det(C\overline{C})=\det(A^2+B^2+i(BA-AB))$ и $\det(\overline{C}C)=\det(A^2+B^2+i(AB-BA))$. Но с другой стороны $\det(C\overline{C})=\det(C)det(\overline{C})=\det(\overline{C})\det(C)=\det(\overline{C}C)$. Сравнивая выражения определителей, получаем что должно выполняться условие $BA-AB=AB-BA$, т.е. $AB=BA$ - т.е. вещественная и мнимая части комплексной матрицы перестановочны между собой. Где тут ошибка

 
 
 
 
Сообщение16.05.2007, 16:39 
Аватара пользователя
А разве у нас уже из равенства определителей двух матриц следует равенство самих матриц?

 
 
 
 
Сообщение16.05.2007, 16:55 
нет не следует, но смущает выражение под определителем и то что результаты в конечном счете равны, т.е. $\det(M+N_1)=\det(M+N_2)$

 
 
 
 
Сообщение16.05.2007, 17:45 
Аватара пользователя
Если $M$, $N$ --- вещественные матрицы, то $\det(M+iN)=\overline{\det(M-iN)}$. В частности, если $\det(M+iN)\in\mathbb{R}$, то определители равны. В нашем случае так и есть, поскольку
$$\det(C\overline C)=\det C\cdot\overline{\det C}=|\det C|^2\in\mathbb{R}.$$

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 09:33 
спасибо RIP
но остается следующий вопрос: пусть $M$, $N_1$ и $N_2$ действительный матрицы и $N_1\ne N_2$. Возможна ли ситуация, когда $\det(M+N_1)=\det(M+N_2)$

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 09:46 
Аватара пользователя
Ответ очевиден - да. Достаточно прибавлять к диагональной матрице разные верхне-треугольные матрицы с нулями на главной диагонали :wink:

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 09:48 
Аватара пользователя
Разумеется, может. Из самых общих соображений. Допустим, Вы зафиксировали матрицы $M$ и $N_1$, а все $n^2$ элементов матрицы $N_2$ считаете независимыми неизвестными переменными. Равенство определителей - это одно линейное соотношение, которое (за исключением отдельных вырожденных ситуаций) уменьшит число переменных на 1. Проще говоря, из этого равенства можно выразить один элемент матрицы $N_2$ через остальные, после чего эти остальные $n^2-1$ переменных можно задавать как угодно.

(Еще раз - за исключением отдельных вырожденных ситуаций, связанных с равенством некоторых выражений нулю).

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 09:53 
Аватара пользователя
PAV писал(а):
...это одно линейное соотношение...
Наверное, правильнее будет говорить об одном нелинейном соотношении?

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 10:01 
Аватара пользователя
Ну да, конечно, я не очень удачно выразился. Я имел в виду, что это равенство одно.

Если уже фиксированы все элементы матрицы $N_2$, кроме одного, то мы имеем простое линейное соотношение на этот один оставшийся элемент.

Добавлено спустя 1 минуту 48 секунд:

Которое может при неудачном выборке остальных оказаться вырожденным, т.е. коэффициент при этом одном параметре равен нулю. Тогда плохо, ибо от него ничего не зависит. В остальных случаях все хорошо, значение этого параметра определяется однозначно.

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 10:36 
спасибо за ответы, с темой разобрались

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 14:43 
Аватара пользователя
Тут есть еще одно рассуждение, если вспомнить, что матрицы это координаты векторов во внешней алгебре, то можно получить формулы сложения определителей по последней строке в случае когда матрицы отличаются только в одной строке.

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 14:52 
Аватара пользователя
lt3km писал(а):
...можно получить формулы сложения определителей по последней строке в случае когда матрицы отличаются только в одной строке.
Так все и так знают, что определитель является полилинейной и кососимметрической функцией строк (столбцов) матрицы. Это доказывается совсем по-детски, без привлечения всяких там внешних или внутренних алгебр.

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 15:18 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Так все и так знают, что определитель является полилинейной и кососимметрической функцией строк (столбцов) матрицы. Это доказывается совсем по-детски, без привлечения всяких там внешних или внутренних алгебр.

А также с добавлением ещё одного свойства $det E = 1$ может служить системой аксиом для задания определителя, при этом достаточно рассматривать его только лишь как функцию столбцов (или, наоборот, строк).

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 17:56 
Аватара пользователя
Да, согласен. Забыл первый курс ;)

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group