Устойчивость метода Эйлера

[BinGOSU]

Требуется рассмотреть устойчивость этого метода.
Что у нас есть - задача Коши, примененный к ней метод Эйлера.

$\frac{du}{dt}=f(u,t)$

$u_{n+1}=u_n+f_n\cdot\Delta t$

Ошибка на n-ном шаге (то есть отклонение от истинного значения) равна $\varepsilon_n$

Далее расписывается истинное значение функции

$u_{n+1}+\varepsilon_{n+1}=u_n+\varepsilon_n+f_n(u_n+\varepsilon_n)\Delta t = u_n+\varepsilon_n + f_n(u_n)\Delta t+\frac{df}{du}\varepsilon_n\Delta t+o(\varepsilon_n^{2})\Delta t$

Здесь как раз и появляется тот самый момент, который я не до конца понимаю. А именно - раскрытие функции:
$f_n(u_n+\varepsilon_n)=f_n(u_n)+\frac{df}{du}\varepsilon_n + o({\varepsilon_{n}}^{2})$

Пробовал раскладывать по Тейлору с центром разложения в точке $u_n$, получается следующее:
$f_n(u_n+\varepsilon_n)=f_n(u_n)+\frac{df}{du}\varepsilon_n + \frac{d^{2}f}{du^{2}}{\varepsilon_{n}}^{2}+o({\varepsilon_{n}}^{2})$

То разложение, что написано выше, взято с материалов лекции, так что ошибки быть не должно. Почему получается член второго порядка или как от него избавиться? Что я делаю не так?

Deggial: Инструкции по набору формул здесь или здесь (или в этом видеоролике). Исправляйте формулы, иначе тема будет перемещена в Карантин.

[TOTAL]

$u_{n+1}=u_n+f_n\cdot\Delta t$

$u_{n+1}+\varepsilon_{n+1}=u_n+\varepsilon_n+f_n(u_n+\varepsilon_n)\Delta t $

Какому из этих уравнений удовлетворяет функция $u_n$?

Исправьте
$f_n(u_n+\varepsilon_n)=f_n(u_n)+\frac{df}{du}\varepsilon_n + o({\varepsilon_{n}}^{2})$
на
$f_n(u_n+\varepsilon_n)=f_n(u_n)+\frac{df}{du}\varepsilon_n + O({\varepsilon_{n}}^{2})$

[BinGOSU]

Это одна и та же функция в обоих уравнениях, то есть и первому, и второму, если я правильно понимаю вопрос.
Исправление, конечно, поправит ситуацию именно так, как и надо, но суть вопроса именно в том и состояла - почему в этом месте стоит о малое, или же это утверждение неверно?

[TOTAL]

BinGOSU в сообщении #660767 писал(а):

Это одна и та же функция в обоих уравнениях, то есть и первому, и второму, если я правильно понимаю вопрос.
Исправление, конечно, поправит ситуацию именно так, как и надо, но суть вопроса именно в том и состояла - почему в этом месте стоит о малое, или же это утверждение неверно?

Неправильно понимаете, не удовлетворяет она сразу двум уравнеиям. (Для значений точного решения в узлах сетки следовало бы ввести свое обозначение.)
С о-малым равенство неверное.

[ewert]

BinGOSU в сообщении #660694 писал(а):

$u_{n+1}+\varepsilon_{n+1}=u_n+\varepsilon_n+f_n(u_n+\varepsilon_n)\Delta t = u_n+\varepsilon_n + f_n(u_n)\Delta t+\frac{df}{du}\varepsilon_n\Delta t+o(\varepsilon_n^{2})\Delta t$

Тут вообще всё даже не то что неверно, а просто бессмысленно. Бог с ним, с о-маленьким. Бессмысленна уже сама запись $f_n(u_n+\varepsilon_n)$.

[TOTAL]

ewert в сообщении #660918 писал(а):

BinGOSU в сообщении #660694 писал(а):

$u_{n+1}+\varepsilon_{n+1}=u_n+\varepsilon_n+f_n(u_n+\varepsilon_n)\Delta t = u_n+\varepsilon_n + f_n(u_n)\Delta t+\frac{df}{du}\varepsilon_n\Delta t+o(\varepsilon_n^{2})\Delta t$

Тут вообще всё даже не то что неверно, а просто бессмысленно. Бог с ним, с о-маленьким. Бессмысленна уже сама запись $f_n(u_n+\varepsilon_n)$.

Смысл очень легко возникает, если не путаться в обозначения. Точное решение (дифференциального уравнения) в узлах обозначить $v_n,$ затем $u_n=v_n+ \varepsilon_n$ подставлять в дискретное уравнение.