примеры функций с нестандартными производными

[ok_go_love]

Здравствуйте,форумчане
несколько дней мучаюсь с поиском след.функций :
пример функций:
1)дифференцируемая функция ,у которой существует придел при $x\to\infty$ ,но не существует предела производной при том же стремлении
2)дифференцируемая ограниченная функция ,у которой существует прeдел производной при $x\to\infty$,но не существует предела функции при том же стремлении
3)пример монотонной функции,у которой производная не монотонна
4)пример функции разрывной всюду кроме конкретного множества $x_1,x_2,x_3....x_n$
подскажите кто-нибудь,или назовите литературу где почитать
и еще,встретился с 1 интересной задачей,которые так же не могу разрешить:
Показать,что если длина отрезка l не имеет вид $1/n$ ,то найдется функция указанного вида ,в график которой нельзя вписать горизонтальный отрезок длины l

[Someone]

Значок бесконечности кодируется как \infty ($\infty$), исправьте, пожалуйста. Не надо копировать символы из таблицы символов, лучше поищите их в теме http://dxdy.ru/topic183.html.

1) Придумайте что-нибудь стремящееся к $0$, но при этом быстро колеблющееся.
2) Вопрос не понял. Вы его точно сформулировали?
3) Проще сначала придумать производную, потом найти саму функцию.
4) А пример функции, которая непрерывна только в одной точке, знаете?

[мат-ламер]

ok_go_love в сообщении #660355 писал(а):

2)дифференцируемая ограниченная функция ,у которой существует придел при ... ,но не существует предела функции при том же стремлении

Странная постановка. Т.е. придел существует, а вот предела нет?

[SpBTimes]

предел производной же там.
2) Ну какой-нибудь $\sin{\ln{x}}$

[ok_go_love]

извините
поправил 2е и бесконечности

Цитата:

А пример функции, которая непрерывна только в одной точке, знаете

такая как

$$ x=\begin{cases} x,&\text{если $x from Q$;}\\ 0,&\text{если $x not from Q$;}\\ \end{cases} $$

[ИСН]

ну вот
теперь это расширить.
post448579.html#p448579