Трансцендентность арктангенса

[Studentmexmat]

Если $\alpha$ (не равное 0) - алгебраическое число, то $\arctg\alpha$ - трансцендентное.
Как доказать? Знаю только, что нужно воспользоваться теоремой Линдемана:
Если $\alpha$ - алгебраическое, то $e^{\alpha}$ - трансцендентное.

[ИСН]

Про комплексную экспоненту слышали, например?

[Studentmexmat]

Слышала.
Есть мысль воспользоваться формулой $\arctg x = \frac 1{2i} \log \frac{1+ix}{1-ix}$. Но непонятно, как довести это до ума.

[Studentmexmat]

Не знаю, правильно это или нет, но вроде похоже на правду:

число $i$ - алгебраическое, т.к. решение $1+x^2 = 0$, тогда $\frac{1+i\alpha}{1-i\alpha}$, ($1-i\alpha$ не ноль), тоже алгебраическое.

Далее, если $\alpha$ - алгебраическое, $\alpha$ не 0 и не 1, то $\ln\alpha$ - трансцендентное. (Это верно, т.к. $e^{\ln\alpha} = \alpha$, и предположение о том, что $\alpha$ и $\ln\alpha$ - алгебраические, приводит к противоречию с теоремой Линдемана.)

В общем решила, надеюсь без лажи.