Дифференциальная геометрия

[komarov_and]

Добрый вечер, дорогие форумчане!
Наткнулся на следующую задачу.

Требуется доказать, что гауссова кривизна поверхности $S$ равна нулю в точках ее гладкости, если $S$--коническая поверхность, образованная прямыми, проходящими через начало координат и через точки заданной кривой $r\subset \mathbb R^3$. И в случае, когда $r$ лежит на единичной сфере и имеет натуральную параметризацию, нужно найти на $S$ евклидовы координаты.

Очень нужно разобраться в ее решении. Вот его набросок:

Поверхность задается параметрически $(r,s)\rightarrow sr(t)$. Если $r$ кривая на сфере, а $t$--натуральный параметр, то индуцированная метрика имеет вид $g=ds^2+sdt^2$. Это полярные координаты на плоскости, а евклидовы имеют вид $x=scost, y=ssint$.

Почему поверхность задается параметрически данным образом? почему метрика имеет такой вид? Как решить пункт (а) вообще не понимаю. Единственное, что сделал - это посчитал, что кривизна для этой метрики нулевая, а причем тут гладкие точки?
Помогите, пожалуйста!

[Утундрий]

komarov_and в сообщении #659331 писал(а):

Почему поверхность задается параметрически данным образом?

По определению.

komarov_and в сообщении #659331 писал(а):

почему метрика имеет такой вид?

По результатам прямого вычисления.

komarov_and в сообщении #659331 писал(а):

Как решить пункт (а) вообще не понимаю.

Соответственно не понимаю, что из стартового сообщения относится к "пункту (а)"

komarov_and в сообщении #659331 писал(а):

, что сделал - это посчитал, что кривизна для этой метрики нулевая

Гм...

komarov_and в сообщении #659331 писал(а):

Требуется доказать, что гауссова кривизна поверхности $S$ равна нулю

Два раза "Гм"...

[komarov_and]

Спасибо, что не оставили без внимания все мои вопросы!! Вот только причем тут все-таки гладкие точки?
И еще: а как проделать это прямое вычисление?
Под пунктом (а) я имел в виду первый вопрос в задаче.
А что Вы подразумеваете под "Гм.."?? (Это совсем очевидно или совсем неправильно?)

[Утундрий]

komarov_and в сообщении #659404 писал(а):

Гм.."?? (Это совсем очевидно или совсем неправильно?)

Это "совсем непонятно". Вы ведь решение привели, что в нем не ясно? Или решение чужое, а сами сквозь "если, то" пробраться не можете?