Автоморфизм верхней полуплоскости

[ewert]

Ward в сообщении #657898 писал(а):

$\alpha, \beta, \gamma \in\mathbb{R}$, а как отсюда вывести, что и $a, b, c, d\in\mathbb{R}?$

Из выражений $\alpha, \beta, \gamma$ через $a, b, c, d$ почти мгновенно следует, что отношение любых двух из исходных коэффициентов вещественно.

[Ward]

Уважаемый ewert!
Еще раз напишу: Я получил, что $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$, а отсюда нетрудно вывести, что $a, b, c, d$ вещественны с точностью до комплексного множителя.
Это я уже понял.
В одном из предыдущих сообщений я написал следующее: $w$ будет вещественным если $\dfrac{\operatorname{Im}\alpha}{\operatorname{Im}\beta}=-z_2$. Это как я понял неверно. Правильно?

[ewert]

Ward в сообщении #657540 писал(а):

А чтобы и $w$ было вещественным нужно чтобы $\alpha, \beta\in \mathbb{R}$ или $\dfrac{\text{Im}\alpha}{\text{Im}\beta}=-z_2$

При умножении ось не должна поворачиваться, а при прибавлении константы не должна смещаться по вертикали. Что отсюда следует для $\beta$ и для $\alpha$?

[Ward]

Ну отсюда следует, что $\alpha$ и $\beta$ вещественные.
Но смотрите если $\dfrac{\operatorname{Im}\alpha}{\operatorname{Im}\beta}=-z_2,$ то ведь $w$ снова будет вещественным. Верно ведь?

[ewert]

Ward в сообщении #657913 писал(а):

если $\dfrac{\operatorname{Im}\alpha}{\operatorname{Im}\beta}=-z_2,$ то ведь $w$ снова будет вещественным. Верно ведь?

Нет.

[Ward]

Аааа понял!
Это будет верно только для точки $z_2$, а для остальных точек вещественной оси $w$ может быть комплексным. Я вроде так понял (ведь $z_2$ "бегает" по вещественной оси). Вы согласны?

[Ward]

ewert в сообщении #657915 писал(а):

Ward в сообщении #657913 писал(а):

если $\dfrac{\operatorname{Im}\alpha}{\operatorname{Im}\beta}=-z_2,$ то ведь $w$ снова будет вещественным. Верно ведь?

Нет.

Если $\dfrac{\operatorname{Im}\alpha}{\operatorname{Im}\beta}=-z_2,$ и $\alpha=\operatorname{Re}\alpha+i\operatorname{Im}\alpha$ и $\beta=\operatorname{Re}\beta+i\operatorname{Im}\beta$
Но так как $\operatorname{Im}\alpha=-z_2\operatorname{Im}\beta,$ то $\alpha+\beta z_2=\operatorname{Re}\alpha+z_2\operatorname{Re}\beta$
А ведь последнее число вещественное же

[ewert]

Ward в сообщении #657968 писал(а):

А ведь последнее число вещественное же

Ward в сообщении #657925 писал(а):

Это будет верно только для точки $z_2$, а для остальных точек вещественной оси $w$ может быть комплексным.

Что выбираем?

[Ward]

Не понял Ваш вопрос.
Я не могу понять почему $w$, задаваемое как $w=\alpha+z_2\beta$ будет вещественным лишь при $\alpha, \beta \in \mathbb{R}?$